Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

по фазе и, интерферируя, гасят друг друга. Тогда для таких волн А2= 0. Последнее означает, что электроны, характери­ зуемые данными значениями р, блуждают по решетке без от­ клонений и нарушений на любой стадии их движения, т. е. в этом случае электрон ведет себя как свободная частица.

При' возрастании скорости движения электронов вследствие уменьшения длины их волны X и ее приближении к параметру d (X~rf), что соответствует критическим значениям волнового числа, электронные волны начинают взаимодействовать с полем решетки, и электроны начинают вести себя иначе.

торых разность хода лучей, отраженных от соседних рядов, равна 2d и равна целому числу волн: nX = 2dyто последователь­ но отраженные волны интерферируют и, слагаясь, дают силь­ ный отраженный луч. Исходя из закона Брегга — Вульфа и так

интенсивности близки к падающей электронной волне, а следо­ вательно, средняя скорость движения электрона внутри решетки равна нулю, т. е. электрон постоянно отражается вперед и на­ зад; действительная плотность электронной волны вдоль решет­ ки периодически изменяется.

Таким образом, влияние периодичности поля кристалли­ ческой решетки приводит к возникновению значений энергии электронов, при которых они перестают быть свободными. При этом электроны испытывают колебательное движение, что ска­ зывается на разрыве зависимости энергии от волнового числа: параболическая зависимость разделяется на области (рис. 4.3), в промежутках которых энергетические состояния электронов запрещены. Обозначают запрещенные области значком Л и на­ зывают энергетической щелью. Очевидно, что ширина энерге­ тической щели между АА' и ВВ'УСС' и DD' зависит от ампли­ туды периодической части U(x), и она полностью исчезает, когда U = const = 0. При переменном значении U (х) энергети­ ческая щель Д имеет определенную ширину, а зависимость энергии от р в случае его приближения к критическим значе­

кристаллографических плоскостей). Приведенное равенство утверждает, что электронные волны обладают такими же свойствами, как и рентгеновские лучи, и, следовательно, их поведение будет аналогичным.

степенно увеличивать волновое число р от нуля, то энергия неуклонно будет расти до тех пор, пока не достигнет значения Еаа'- При его достижении дальнейшее увеличение волнового числа р обусловливает скачкообразное повышение энергии

интерферируют. Волны, отраженные от более удаленных рядов, несколько отличаются по фазе и не интерферируют, в резуль­ тате чего возникает как бы некоторая размытость значений энергии.

4.3. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА

Приведенные на рис. 4.3 данные о зависимости энергии от волнового числа представляют собой зависимость Е от р по од­ ному из возможных направлений в p-пространстве двумерной кристаллической решетки. Подобная же параболическая зави­ симость £(Р) будет характерна и для трехмерной кристалли­ ческой решетки. Однако если представить реальную кристал­ лическую решетку, то станет вполне очевидным, что расстояние между атомами, по которым проходит в разных направлениях электронная волна, различно. Следовательно, н потенциальный рельеф будет отличаться в зависимости от направления движе­ ния электронов по кристаллу, что графически выразится в виде определенной пространственной зоны.

Итак, вследствие зависимости рК от направления волны в кристалле для совокупности значений (3Кр от минимального до максимального можно получить непрерывное семейство кривых, отражающих зависимость £(р). Изображение этого семейства

вдвух- и трехмерном пространстве позволяет получить про­ странственную зависимость £(р).

Разрешенные и запрещенные зоны могут быть представлены

ввиде диаграмм в двух- и трехмерном пространстве. В этом

случае они называются по имени французского физика Л.-М. Бриллюэна зонами Бриллюэна.

Для примера рассмотрим построение зоны Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой в двумерном про­ странстве. Согласно уравнению Брегга — Вульфа, отражение электронов от атомных плоскостей должно происходить при условии nX==2dsina, откуда

(d — межплоскостное расстояние).

Для удобства начало координат выберем в центре зоны, тогда граница первой зоны (положение первого разрыва на

кривой £(р) для главного направления движения электрона) при п = 1 будет записываться равенством р = ±n/(dsina). Упростим это выражение, разложив его на две составляющие: P.v и р</ (рис. 4.4,а). Так как $у = psina, то составляющая, па­ раллельная отражающим плоскостям, будет равна

Аналогично, учитывая, что первая зона представляет для про­ стой кубической решетки квадрат, а угол а = 45°, найдем, что и вторая составляющая — рх— равна

в p-пространстве. Из рис. 4.4, а видно, что величина зоны опре­ деляется отрезками в 2 я/d, а граница первой зоны находится в точках —jt/d и Н-я/d. Каждая точка диаграммы соответствует определенным значениям рх и $у и представляет собой конкрет­ ное энергетическое состояние электрона. Если для простой кубической решетки квадрат ABCD характеризует границу пер­ вой зоны в двумерном пространстве, то в трехмерном — граница зоны будет иметь форму куба с ребром в 2jt/d. Подстановка

рами указан номер зоны). Границы зоны в энергетическом отно­ шении соответствуют значениям максимальной энергии на по­ верхности Ферми. Наличие электронов с энергией £ тах на этой поверхности соответствует тому, что поверхность сферы Ферми будет касаться границы зоны.

Зоны Бриллюэна для разных значений р, плоскостей отра­ жения и видов решеток могут быть определены с помощью рентгеновских исследований, которые показывают, что струк­ тура и форма зон различных кристаллов отличаются. Так, если для простой кубической решетки зоны Бриллюэна имеют форму куба, то для объемноцентрированной и гранецентрированной

рис. 4.4, а), которые находятся далеко от границы зоны, распо­ лагаются концентрическими окружностями относительно центра зоны. Это следует из того, что электроны с волновыми числами, далекими от критических значений, подобны свободным элект­ ронам, и на их поведение не оказывает влияния периодичность поля решетки. По мере же удаления от центра p-пространства контуры искажаются (например, контуры 3 и 4), и в местах, наиболее близких к границам зоны, появляются выпуклости. Это объясняется тем, что вблизи ркр зависимость энергии от волнового числа начинает отличаться от параболической, и энергия растет значительно медленнее с увеличением р. Кон­ туры с высокой энергией, такие как 5 и 6 , пересекаются грани­ цей. После пересечения с границей зоны линии контуров не про­ должаются, так как на границе происходит разрыв энергии. Последнее указывает на то, что электронные состояния с макси­ мальной энергией возможны только в углах зоны.

Наличие граничных квантовых состояний с разными значе­ ниями энергии приводит к очень важному выводу: хотя на гра­ ницах зоны и происходит разрыв энергетического спектра, од­ нако в зонах могут быть направления, по которым возможно соприкосновение и даже перекрытие зон. В результате этого энергетический спектр частицы оказыватся квазинепрерывным. Перекрытие зон происходит только в том случае, когда мини­ мальная энергия нижней границы второй зоны окажется мень­ ше максимальной энергии верхней границы первой зоны (рис. 4.5,а). Если же нижняя граница второй зоны по значе­

нию энергии окажется выше верхней границы первой зоны (рис. 4.5,6), то в этом случае перекрытия зон не происходит. Факт возможного перекрытия зон имеет большое значение

вобъяснении многих свойств металлов.

Всвязи с этим в теории металлов важное значение приобре­ тает вопрос, какое количество квантовых состояний составляет

зону и сколько электронов может приходиться на один атом в зоне.

Для определения количества квантовых состояний в зоне необходимо объем всей зоны Бриллюэна разделить на объем одного квантового состояния. Так как в простой кубической ре­

Так как dz—объем элементарной ячейки, а на каждую ячейку в простой кубической решетке приходится один атом, то N = = V/dz показывает, что количество квантовых состояний в зоне такой решетки равно числу атомов. Исходя из принципа Паули, считаем, что в каждом квантовом состоянии могут находиться