Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

угольную грань, равна

AFxi= SxxAyAz.

Сумма этих двух сил должна быть равна „v-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через п единичный вектор нормали к грани N, а через AFn— действующую на нее

силу, тогда получим

AFxn = $хх AyAz+Sxy Ах Аг.

Составляющая напряжения по оси JC(Sx„), действующего в этой плоскости, равна силе AFxn, деленной на площадь, т. е. АгУ Ах*+Ауг, или

*" ** Уь*+тр ^ ху УШ+ЩГ*

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение АхГУДд^+Дг/1— это косинус угла 0 между п и осью у и может быть записан как пи, т. е. ^-компонента вектора п. Аналогично, Ay!\fАх*+Ау2 равно sin 0 = л х. Поэтому мы можем написать

SXn= Sxxtix+ SXytiy.

Если теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы Stj и полностью

описать внутреннее напряжение.

с Е. Но поскольку п и Sn— векторы, то компоненты Stj при

изменении осей координат должны преобразовываться как тен­ зор. Так что Stj действительно тензор.

на маленький кубик в материале. Возьмем кубик, грани которого

х и у9должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять

достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны,

41

Ф и г. 31.9. х - и у-компоненты сил, дейст­ вующих на четыре грани маленького единич­ ного кубика.

как это показано на рисунке. За­ метьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент сил, ина­ че кубик начал бы вращаться. Но пол­ ный момент относительно центра ра­ вен произведению (Svx—Sxy) на еди­

ничную длину ребра куба,а посколь­ ку полный момент равен нулю, то Syx должно быть равно Sxy, и тен­

зор напряжений, таким образом, оказывается симметричным. Благодаря этой симметрии тензора S tj его можно тоже опи­

сывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в на­ правлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никаких сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении дейст­

вуют только нормальные силы. Эго соответствует гидростати­ ческому давлению (положительному или отрицательному). Таким образом, для гидростатического давления тензор диагоналей, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем напи­

сать

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компо­ ненту Sif как функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре Т(х, у, г), и векторных полей,

подобных Е(дг, у, г), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задавае­

мого в каждой точке пространства девятью числами, из кото­ рых д л я симметричного тензора Stj реально остается только

шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твер­ дом теле требует знания шести функций координат х, у и г.

42

§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений Зц описывает внутренние силы в ве­ ществе. Если при этом материал упругий, то внутренние дефор­

мации удобно описывать с помощью другого тензора Тц— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, по­ добного бруску из металла, изменение длины AL, как вы знаете,

приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется

закону Гука

AL = yF.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций Т1} связан с тензором напряжений Su системой

линейных уравнений

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

4 - л и . - 4 тр .

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела

будет выражение

(31.27)

цы

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться

коэффициентами уцм. Эт° знакомит нас с новым «зверем»— тен­ зором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может

принимать одно из трех значений — х, у или г, то всего оказы­ вается 34=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле

только 21. Во-первых, поскольку тензор Siу симметричен, у него

остается только шесть различных величин, и поэтому в уравне­ нии (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем,

не изменяя энергии, мы можем переставить Su и S A(, так что Уим должно быть симметрично при перестановке пары индек­ сов ij и Ы. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак,

чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компо­

ненты уцм не должны зависеть от поворота осей. Как это мо­ жет быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда

выражаются через тензоры бц. Но существует лишь два возмож-

43

пых выражения, имеющих требуемую симметрию,— это

и 6jfeS;t+ 6a 6jh, так что Yijiti должно быть их линейной комбина­

цией. Таким образом, для изотропного материала

tijki ~ а (5,у бА;) -f b (б/Аб/t -|- 6и д/А);

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, тре­ буются две постоянные: а и Ь. Я предоставляю вам самим дока­

зать, что для кубического кристалла требуются три такие по­ стоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При на­ пряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

=2 W /• ft

где £ (— электрическое поле, a Pi}h— пьезоэлектрические коэф­

фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, г-+■—х, —у, —г),

то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­ странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F^v. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­ да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­ стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия

стем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

Вкачестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­ гой тензор в четырех измерениях (t, х, у, г) теории относитель­

ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ ляли Si) как компоненту силы, действующую на единичную

площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить <tSxy— это х-

компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­

пендикулярную оси уп, мы с равным правом могли бы сказать; * S X y— это скорость потока х-компоненты импульса через еди-

44

ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами,

каждый член S,-/ представляет поток t'-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси /. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большого» тензора S^v в четырехмер­ ном пространстве (р. и v = f, х, у, г), содержащего еще дополни­ тельные компоненты Stx, Sut, Su и т. п. Попытаемся теперь вы­

яснить физический смысл этих дополнительных компонент. Нам известно, что пространственные компоненты представ­

ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­

току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную

площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ ным вектором — вектором плотности тока j . Мы видели, что

временная компонента вектора потока — это плотность теку­ щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плот­ ностью заряда jt=р и получить четырехвектор /д=(р, j), т. е. значок (1 у вектора /д принимает четыре значения: t, х, у, г.

Эго означает «плотность», «скорость потока в ^-направлении», «скорость потока в (/-направлении» и «скорость потока в г-на- правлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­ поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе с Sxx, Sxv и Sxz, описывающими поток ^-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxl, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxt должна

быть плотностью ^-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него {-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

Sxt — плотность ^-компоненты импульса,

&ХХ— поток х-комлоненты импульса в направлении оси х, поток х-компоненты импульса в направлении оси у, поток х-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с //-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S yx, Syv и Syz, к которым нужно

добавить четвертый член:

Svt — плотность у-компоненты импульса,

а к трем компонентам Szxt Szy и Szz мы добавляем

Szt — плотность z-компоненты импульса»

Вчетырехмерном пространстве у импульса существует также

и/-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор Stj следует продолжить по вертикали с включением

45