Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г , 31.8. Эллипсоид поляризуемости.

кольку ахи и avx равны, то этот член превращается в 2ахи

и может быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­

рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ех и Еу отвечают данной плотности энергии, скажем

ив. Возникает чисто математическая задача решения уравнения

2ссху ЕхЕу -f-сСууЕу= 2и0.

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ех и £„, решением этого уравнения будут все

точки эллипса (фиг. 31.2). (Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда поло­ жительна и конечна.) А само Е с компонентами Ех и Еу представ­

ляет собой вектор, идущий из начала координат до точки на эл­ липсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «уви­

деть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой

вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­ зуемости.

Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направ­ ления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наи­ меньшего и наибольшего диаметра и направление, перпендику­ лярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.

По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно

простую форму:

а ав^о +<*ььЧ+ aceEj=2ut.

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуе­ мости останутся только три ненулевые компоненты аав, аьь и аес. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл,

всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями

31

самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей стано­ вится особенно простым:

оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэф­

Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диаго­

нальные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.

Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого

угодно числа измерений).

Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональ­

то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изот­ ропным. В тензорных обозначениях

32

Тензор 8t) часто называют также «символом Кронекера». Для

забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены од­ ной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает

Pl = a^6 ijE j = aEi,

т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлек­ трика:

Р = аЕ.

Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрий и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элемен­ тарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симмет­ ричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° от­ носительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен перехо­ дить сам в себя. Но такое может случиться только,, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.

Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллип­ соид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны менаду собой. Наконец, для ку­ бического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.

Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симмет­ рий кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.

33

§4. Другие тензоры; тензор инерции

Вфизике есть еще немало других примеров тензоров. В ме­ талле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорцио­ нальна электрическому полю Е, причем константа пропорцио­

нальности называется проводимостью о:

j= a E .

Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем

i t = $ o ikEk.

Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фикси­ рованной оси, пропорционален угловой скорости ю, и коэффи­ циент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:

L = /со.

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориен­ тации относительно оси вращения. Моменты инерции прямо­ угольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ©

имомент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления © и L, вообще говоря, не сов­ падают (фиг. 31.4). Они связаны точно таким же образом, как Е

иР, т. е. мы должны писать:

£* = I**®*+1ху<йу + /«<»*,

(31.16)

1мг— 1гх(дх -f- Izy(йу-)- / я <#г.

Ф и г . 31.4. Момент количества движения L твердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости ю.

34

Девять коэффициентов /у называют тензором инерции. По ана­ логии с поляризацией кинетическая энергия для любого мо­ мента количества движения должна быть некоторой квадратич­ ной формой компонент <ах,у о и <oz:

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для опре­ деления эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно восполь­ зоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. / y = / / |.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой т и скоростью v

Е т ™ а

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью <■> твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем счи­ тать покоящимся. Если при этом г — положение частицы отно­ сительно центра масс, то ее скорость v задается выражением о)Хг. Поэтому полная кинетическая энергия равна

(© X г)а = (о X г)!+ (со х r)J + (ю х г)| =

=(wyz — со2уУ + (co2x — coxz)2+ (<вХу—®ух)*=*

=<оага— 2шусог гу + со^/= +

+<о|ха— 2coz<ox xz + co|za +

+со2г/2— 2фхсоу ух + соаха.

Умножая это уравнение на т12, суммируя по всем частицам

и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что / хх, например, равно

/ ~ = 2 " Ф а + гг).

Эго и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2). Ну

апоскольку г*=х^-}-у?-\-г*, то эту же формулу можно написать

ввиде

/« = 2

35