Выписав остальные члены тен зо р а инерции, получим
/ |
2 m(fS—**) —2 тхУ |
—2 тхг |
\ |
|
7,/ = |
2 |
т(гг—уг) |
— 2 туг |
] . (31.19) |
|
— 2 |
тгу |
2 т |
|
Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:
*ц = '£т (г% / — .г{г;), |
(31.20) |
где через г( обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения
частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью о :
^• = 2 / <70)/* |
(31.21) |
Для любого тела независимо от его формы можно найти эл липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.
§ 5. Векторное произведение
Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде лили там «момент силы, действующий в плоскости», например тту, следующим образом:
Тxy = xFy—yFx.
Обобщая это определение на три измерения, можно написать
\ j = riF/ - r / Fi. |
(31.22) |
Как видите, величина т,-/ — это тензор |
второго ранга. Один |
из способов убедиться в этом — свернуть хц с каким-то векто-
тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить
.7е/-
Если эта величина окажется вектором,, то тц должен преобра
зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для хи, получаем
^ xueJ = ^ UFfr- 2 rj eJFi = О (F • е )— (г • е) F{.
36
Поскольку скалярные произведения, естественно, являются
скалярами, то |
оба слагаемых в |
правой части — векторы, как |
и их разность. Так что тi;-— действительно тензор. |
||
Однако |
принадлежит к особому сорту тензоров, он анти |
|
симметричен, |
т. е. |
Ъ<- |
|
т/ / = |
|
Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: i xv, хиг и х1Х. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось
показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности»
преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор
Т= (тл, Ху, хг) = (хуг, Хгх, Хху).
Ясказал «по случайности» потому, что это происходит только
втрехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных
ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто ром, у которого компонент только четыре.
Точно так же как аксиальный вектор T =rX F является тен зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.
Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве личин аф) образуют тензор (хотя для физических целей он
не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по ложения г величины rf] являются тензором, а поскольку бц
тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.§
§ 6. Тензор напряжений
Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали
как коэффициенты, |
связывающие один вектор с другим. Сейчас |
я познакомлю вас |
с тензором, имеющим совершенно другой |
физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим,
что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными час тями материала. Мы уже говорили немного о подобных напря жениях в двумерном случае, когда рассматривали поверх ностное натяжение напряжённой диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.
37
Ф и г . |
31.5. Материал, |
находящийся |
|
слева |
от плоскости |
а |
на площади |
ДуАг, |
действует на |
материал, нахо- |
|
1 дящийся справа, с силой'AFlr
Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разре жем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать
перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику лярную оси х, подобную плоскости а на фиг. 31.5, и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке АуАг, распо
ложенной в этой плоскости. Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой AFi (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т. е.
на материал слева от поверхности действует сила —AFi. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила AFi про порциональна площади АуАг.
Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно женному на площадь, и направлена под прямым углом к эле менту поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна поверх
ности: помимо давления (положительного или отрицательного) появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действую
щих на поверхности.) При этом нужно учитывать все три ком поненты силы. Заметьте еще, что если разрез мы сделаем по плос кости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напря жений требует применения тензоров.
Определим тензор напряжений следующим образом. Вообра зите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу AFi, действующую на разрезе, на ее компоненты: AFxi, AFyl, AFzi (фиг. 31.6). Отношение этих сил к площади АуАг мы назовем S**, Syx и S zx. Например,
о_
У* ~ А у Дг •
3S
Ф и г . 31.6. Сила ЛР1( дебетвующая на элемент площади A(/Az, перпендикулярный оси х, разлагается на три компонен ты: &Fx l, &Fyi и &Fz l.
Первый индекс у |
относит |
ся к направлению |
компо |
ненты силы, а второй х — |
|
к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь |
|
AyAz можно записать как Аах, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.
ДFyj
V* Дах '
А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку АхАг действует сила AFa. Раз
лагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения SXy, Syy, SIy как силы, действующие на единичную площадь в этих
трех направлениях. Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси г, и определим три компоненты Sxz, Syz и SIZ. Таким образом, получается девять чисел:
/^хх |
Syy |
S „ \ |
Зц —I Syx |
Sy* • |
|
\S ZX |
S2y |
s j |
|
|
(31.23) |
Я хочу теперь показать, что этих девяти ве личин достаточно, чтобы
Ф и г . 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди кулярный оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.
39
Ф и г , |
31.8, |
Разложение на компо |
ненты |
силы |
Рп> действующей на |
грань N |
(с единичной нормалью п). |
|
полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что 5,7 — действительно тензор. Предположим, что мы хотим
знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из S ,y? Можно, и это делается следующим образом. Вообразите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N па раллельна оси г, то получается картина, изображенная на
фиг. 31.8. (Эго, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора Эц.
А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выразить через Бц.
Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на
малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые
тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу
дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио нальны АхАуАг, тогда как поверхностные силы пропорцио
нальны АхАу, AyAz и т. п. Итак, если размер призмочки взять
достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.
А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани; Но если Аг достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси г) будут
равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них молено забыть. На основание призмы действует .«-компо нента силы, равная
ДFx%= Sxy Ах Аг,
а х-компонента силы, действующей на вертикальную прямо-
40