Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

в него Stx, Siv и S fx, причем

т. е. Six— это поток энергии в единицу времени через поверх­ ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Stt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили

наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса SMV. Индекс v может принимать четыре зна­

чения: t, х, у и г, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ ную площадь в направлении оси у» и «поток через единичную

площадь в направлении оси г». Значок р тоже принимает четыре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, чтд же именно течет:

«энергия», «х-компонента импульса», ««/-компонента импульса» или же «z-компонента импульса».

Вкачестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе,

ав пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете,

что поток энергии электромагнитного поля описывается век­ тором Пойнтинга S = e 0csE x B . Так что х-, у- и z-компоненты век­

тора S с релятивистской точки зрения являются компонентами Stx, Sty и нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тен­

зора Sij переносится и на временные компоненты, так что че­

тырехмерный тензор SMV тоже симметричен:

Другими словами, компоненты Sxt, Syt, S zt, которые представ­ ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также

х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напря­ жения Syv тоже можно выразить через электрическое и магнит­

ное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, по­ тока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмер­ ных тензорах, может понравиться выражение для тензора через поля:

46

света, ну и, разумеется, его поглощение плот- §4 комплексный

но тогда наши знания математики были весьма ограничены и мы остановились только на по- §5. Показатель

преломления, мы там все же выяснили. Электри- s *в°^"“алла1 ческое поле световой волны поляризует мо­ лекулы газа, создавая тем самым осцилли- §7> рующие дипольные моменты, а ускорение ос­ циллирующих зарядов приводит к излучению новых волн поля. Это новое поле, интерфери­ руя со старым, изменяет его. Изменение поля эквивалентно тому, что происходит сдвиг фазы первоначальной волны. Из-за того что сдвиг

менению фазовой скорости света в материале. Прежде, когда рассматривалось это явление, мы пренебрегали усложнениями, возникающими от таких эффектов, как действие новой изме­ ненной волны на поле осциллирующего диполя. Мы предполагали, что . силы, действующие на заряды атомов, определяются только падающей

волной, тогда как на самом деле на осциллятор действует не только падающая волна, но и волны, излученные другими атомами. В то время нам еще было трудно учесть этот эффект, поэтому мы изучали только разреженные газы, где его можно считать несущественным.

48

шается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломления (как результата интерференции вновь излученных волн с перво­ начальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам по­ требуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я собираюсь использо­ вать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во мно­ гих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останав­ ливаться па физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.

Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N частиц

и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой элект­ рон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как

будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее

будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропор­ циональна скорости электрона. Уравнением движения при этом

49

будет

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавливаю­

щая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действующее на атом электрическое поле изменяется со временем синусоидально, то

мы пишем

(32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение,

поэтому можно считать

х = х 0еш .

Подставляя x—imс и х= — <й2х, можно выразить х через Е:

—а* + «у©+о)о

Азная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­

ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель прелом­ ления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный ди­ польный момент атома р равен qex, или в силу уравнения (32.3)

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особенностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную у. Кроме того, каждая

*Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, принятыми

вгл. 31 (вып. 3); пусть а — атомная поляризуемость, как это определено здесь.

Впредыдущей главе мы пользовались буквой а для обозначения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е> Но в обозначениях этой, главы Р== =N<XZQE [см. выражение (32.8)].

50