постоянную связи /, которая, как ожидается, по порядку вели чины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров <0О, у и f для каждой из гармоник через ©ол, Ун и fk и суммируя
по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем
а (со) = |
_?£_2 |
fk |
(32.7) |
|
г 0т ‘ |
|
|
Если число атомов |
в единице объема вещества |
равно Nt |
|
то поляризация Р будет просто Np=e0MaE, т. е. пропорцио нальна Е:
Р = е0М* (со) Е. |
(32.8) |
Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах а мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа про порциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями элект рического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в мате риале поляризацию, пропорциональную его напряженности.
£ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
Наличие в веществе поляризации означает, что там возни кают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно опреде ляются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов р и плотности тока j, усредненных по тому же самому малому объему, который имелся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения р и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:
Р л о л - - ? - Р . |
(32.9) |
В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда qe
si
на скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N
ш тук , |
то |
они создают плотность тока j: |
|
||
|
|
\ = Nqev. |
|
|
|
Ну а |
поскольку известно, что и = ^ , |
то |
что как раз |
||
равно dP |
Следовательно, при |
переменной |
поляризации воз |
||
никает |
плотность тока |
|
|
|
|
|
|
*,ол = |
£ . |
|
(32.10) |
Наша задача стала теперь простой |
и понятной. Мы пишем |
||||
уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяе мыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.
Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сде лать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что урав нения писались в другой форме в течение многих лет (да и сей час многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа ато мов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что V-P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).
Сегодня же мы предпочитаем обозначать через р полную
плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с инди видуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов рпоя, то можно написать
Р = Рпол4" Рдр»
где рдр— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относя щаяся к другим зарядам, не связанным с определенными ато мами. При этом мы бы написали
V-Е = Рпол + Рдр
Во
После подстановки рим из (32.9) получаем
или
T -(e,E + P) = pw . |
(32.11) |
62
В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для VXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать
J — ]лол+ jдр»
причем уравнение Максвелла приобретает вид |
|
c2V x B = ^ - + b 2 2 + ^ - . |
(32.12) |
Используя уравнение (32.10), получаем |
|
e0c2V x B = jAP+ - i - ( e 0E + P). |
(32.13) |
Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D |
|
D = e#E -fP, |
(32.14) |
то два уравнения поля приняли бы вид |
|
V-D = pAP |
(32.15) |
н |
|
е0с2V X В = jAP -j- . |
(32.16) |
Эго и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:
дВ
V x E = - dt
И
V-B = 0,
которые в точности совпадают с нашими.
Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм, и поэтому в плотности тока утеряли еще одну часть.
Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали |
|
V xH = j ' + ™ , |
(32.17) |
где Н отличается от е0с*В, так как последнее учитывает эффекты
атомных токов. (При этом j' представляет то, что осталось от то ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век
тора: Е, D, В и Н, причем в D и Н скрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещества. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во многих местах.
БЗ
Чтобы решить их, необходимо как-то связать D и Н с другими полями, поэтому зачастую писали
D = eE и В = р Н . |
(32.18) |
Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом е
и р комплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.
§ 3. Волны в диэлектрике
Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромаг нитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах, нет. Таким
образом, мы возьмем р = —V-P и j = ^ . При этом уравнения
Максвелла примут такой вид:
V . E = - i t , |
6) * V x B - 4 ( i + E ) |
V x E = - § , |
г) V - B = 0 |
Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:
Vx(VxE) = —A V X B.
Используя затем векторное тождество
V x ( V x E ) = V ( V . E ) - v 2E
в подставляя выражение для VXB из (32.196), получаем
V(V ’Е)— v 2E = |
1 дгР |
1 |
дгЕ |
|
е„са др |
с» |
* |
||
|
Используя уравнение (32.19а) для V- Е, находим
1Ё !§ |
_ ± |
V(V - P )4 |
1 а*р |
(32.20) |
|
е„са dt* * |
|||||
V2E—с* а/* |
*« |
|
Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу чили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим по ляризацию Р.
84
Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще
допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же
направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси г. Электрическое поле при этом
будет изменяться как ег(Ш,"*г>. Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле
имеет только ^-компоненту. Все это записывается следующим образом:
Ех= Е0е‘^ - кгК |
(32.21) |
Вы знаете, что любая функция от (г—vt) представляет волну,
бегущую со скоростью о. Показатель экспоненты в выраже нии (32.21) можно переписать в виде
так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна
_со ^Фаз £ •
В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления п определялся нами
из формулы
с
^ФаЗ *
С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид
Ех= Е0е'1<*«-п*'сК
Таким образом, показатель п можно определить, если мы най дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21)
удовлетворяло соответствующим уравнениям пола* и затем воспользуемся соотношением
п= |
(32.22) |
В изотропном материале поляризация будет иметь только х-
компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением коорди наты х, поэтому у • Р=«0 и мы сразу же избавляемся от первого
члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем
наш диэлектрик «линейным», поэтому Рх будет изменяться как еш и д*рх/д&——(о3Р х. Лапласиан же в уравнении (32.20)
превращается просто в д?Ех/дг?——№Ех, так что в результате получаем
(32.23)
Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется си нусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как
55