Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г . 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

альными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его ско­ рость будет va, а радиус

внешнего цилиндра пусть будет Ь, его скорость рав­ на vb(фиг. 41.3). Возникает

вопрос, каково распределе­ ние скоростей между ци­ линдрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения

формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии г от оси.

Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тан­ генциален и что его величина зависит только от г; v—v(r). Если

мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоя­ нии г от оси, то ее координаты как функции времени будут

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от да/дг, когда © не изменяется с г, жидкость находится в состоянии рав­

номерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой танген­

циальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы мо­ жем получить момент сил, действующий на цилиндрической по­ верхности радиусом г, путем умножения напряжения сдвига на

Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами г и r+dr, должен быть нулем;

256

иначе говоря, момент сил на расстоянии г должен уравновеши­

ваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии r+dr, так что т не должно зависеть от г. Дру­ гими словами, г* (da>/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

Постоянные А и В должны определяться из условия, что <о=юв в точке г—а, а ©=о)6 в точке г=Ь. Тогда находим

Таким образом, со как функция г нам известна, а стало быть известно и с/=сor.

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно

Он пропорционален относительной угловой скорости двух ци­ линдров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффи­ циентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удержива­ ется в неподвижном состоянии пружинным динамометром, кото­ рый измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффици­ ент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что и измеряется в ньютон-сек/м*. Для воды при 20°С

И = 103 ньютон-сек/м*.

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая

равна т), деленной на плотность р. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Напри­ мер, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение tj/p в 1,8 больше, чем при 20°С.

§ 2. Вязкий поток

Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это и известно человеку. Вы

257

уже понимаете, что компоненты сдвиговых напряжений сдвига

пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких, как dojdg или dvy/dx. Однако в об­ щем случае сжимаемой жидкости в напряжениях есть и другой

член, который зависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид

(41.13)

где Xi— какая-либо из координат х, у или z; vt— какая-либо из прямоугольных составляющих скорости. (Значок Ьц обозначает символ Кронекера, который равен единице при i=j и нулю при tV=/\) Ко всем диагональным элементам Sn тензора напряжений

прибавляется дополнительный член TJ'V • v. Если жидкость несжи­ маема, то V -v = 0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания жидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэф­ фициент т) представляет «обычный» коэффициент вязкости, кото­ рый мы уже учитывали. Он называется также первым коэффициен­ том вязкости, а новый коэффициент ц' называется вторым ко­ эффициентом вязкости.

Теперь нам предстоит найти вязкую силу fB,3k, действующую на единицу объема, после чего мы сможем подставить ее в урав­ нение (41.1) и получить уравнение движения реальной жидкости. Сила, действующая на маленький кубический объем жидкости, представляет собой равнодействующую всех сил, действующих на все шесть граней. Взяв их по две сразу, мы получим разность, которая зависит от производных напряжений, и, следовательно, от вторых производных скоростей. Это приятный результат, ибо он приведет нас опять к векторному уравнению. Компонента вязкой силы, действующей на единицу объема в направлении оси Хи равна

Обычно зависимость коэффициентов вязкости от координат по­ ложения несущественна и ею можно пренебречь. Тогда вязкая сила на единицу объема содержит только вторые производные скорости. Мы видели в гл. 39, что наиболее общей формой вторых производных в векторном уравнении будет сумма лапласиана (V-V) v=V*v и градиента дивергенции (V (V*v)). Выражение (41.14) представляет как раз такую сумму с коэффициентами t] и

(T)-fV). Мы получаем

В случае несжимаемой жидкости v - v = 0 и вязкая сила в единице объема будет просто равна TJV *V . Это все, чем обычно пользу­

258

ются; однако если вам понадобится вычислить поглощение звука в жидкости, то вам потребуется и второй член.

Теперь мы можем закончить вывод уравнения движения ре­ альной жидкости. Подставляя (41.15) в (41.1), получаем

Р { |r + (v , v ) v}= — Vp— р?<р+ т]7 гУ+(т]-|-ц') V(V-v).

Уравнение получилось, конечно, сложное, но ничего не поделаешь, такова природа. Если мы введем ft= V x v , как делали эта раньше, то наше уравнение можно записать в виде

Р+ Й Х У + -i-Vn*| = — Vp— pV<p+T]Vsv - f (Т) + Т]') V(V -v).

(41.16)

Мы снова предполагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести. Чтобы понять смысл нового члена, давайте рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Если мы возьмем ротор уравнения (41.16), то получим

Это напоминает (40.9) с той только разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Когда правая часть была равна нулю, то имелась теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда движутся вместе о жидкостью. Теперь же в правой части появилось до­ вольно сложное выражение, из которого, однако, не сразу же следуют физические выводы. Если бы мы пренебрегли членом V X (flx v ), то получили бы диффузионное уравнение. Новый член

означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости.

Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма. С этим же связано красивое явление, возникающее при прохождении кольца «чистого вихря (т. е. «бездымного» кольца, созданного о помощью описанной в предыдущей главе аппаратуры) через облако дыма. Когда оно выходит из облака, к нему «прилипает» некоторое количество дыма и мы видим полую оболочку из дыма. Какое-то количество завихренности Q диффундирует в окружа­ ющий дым, продолжая свое движение вперед вместе с вихрем.

§ 3. Число Рейнольдса

Посмотрим теперь, как изменяется течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая — обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию не­ вязкой жидкости. Оказывается, что сегодня возможно найти ре­ шение вязких уравнений только для некоторых специальных слу­ чаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспери­ ментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17).

359

Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длин* ного цилиндра диаметром D. Поток должен определяться урав­

нением (41.17) и

с условием, что скорость на больших расстояниях равна некото­ рой постоянной V (параллельной оси х), а на поверхности цилинд­

ра равна нулю. Так что

при

D»

Это полностью определяет математическую задачу.

Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в зада­ че есть четыре различных параметра: т), р, D и V. Можно поду­

мать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для

разных V, разных D и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра.

Таково наиболее важное общее заключение, которое мы можем сделать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметь­ те сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отно­ шения Ti/p, т- е. удельной вязкости. Это уменьшает число неза­

висимых параметров до трех. Предположим теперь, что все рас­

При этом параметр D из (41.19) исчезает. Точно так же если бу­

дем измерять все скорости в единицах V, т. е. если мы положим o=v'V, то избавимся от V, а и' на больших расстояниях будет

просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть D/V, так что мы должны сделать подстановку:

В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так, д/дх перейдет в (l/D) {didх') и т. д., так что

уравнение (41.18) превратится в

А наше основное уравнение (41.17) перейдет в

260