Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

(фиг. 40.10). Если бы скорость истечения была в точности равна У 2gh, то выходящая вода должна была бы подняться вплоть

до уровня воды в резервуаре. Однако на опыте она начинает падать несколько ниже его. Наше приближение оказывается очень грубым; вязкое трение, которое мы не учли в нашей форму­ ле для сохранения энергии, приводит к потере энергии.

Пытались ли вы когда-нибудь, дунув между двумя слипши­

мися листками бумаги, оторвать их друг от друга? Попытайтесь! Они сойдутся вновь. Причина, разумеется, состоит в том, что

воздух между листами имеет большую скорость, нежели когда он выходит наружу. Поэтому давление между листами ниже

атмосферного, и они вместо того, чтобы разлететься в разные сто­ роны, соединятся.

§4. Циркуляция

Вначале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям:

Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатики или маг­ нитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов ди­ вергенция электрического поля равна нулю, а ротор электро­ статического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю. Следовательно, уравнения (40.19) име­ ют такие же решения, как и уравнения для Е в электростатике или уравнения для В в магнитостатике. Фактически в гл. 12,

§5 (вып. 5) мы уже решили задачу об обтекании сферы потоком

вкачестве электростатического аналога. Электростатическим аналогом является однородное электрическое поле плюс поле ди­ поля, причем поле диполя подбирается таким, чтобы скорость потока, нормальная к поверхности сферы, была равна нулю. Задачу об обтекании цилиндра можно решить таким же способом, выбрав подходящее направление диполя относительно однород­ ного потока. Эти решения справедливы в тех случаях, когда ско­

рость жидкости на больших расстояниях постоянна как по вели­ чине, так и по направлению. Они изображены на фиг. 40.11, а.

Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11, б). У такого потока есть циркуляция вокруг цилиндра, хотя V x v в жидкости остается нулем. Но как цир­

куляция может существовать без ротора? У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от v по замкну-

246

Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуляция вокруг цилиндра (6) и суперпозиция случаев а и б (в).

той петле, охватывающей ци­

линдр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от v по любому замкнутому пути, который неохватывает цилиндра,

будет нулем. Аналогичные ве­ щи встречались нам и раньше, когда мы определяли магнитное поле вокруг проводника. Ротор В был нулем вне провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуляции вокруг

цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг про­ вода. Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен

<f v-ds = 2nrt>.

Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от г. Обозначим его через постоянную С и получим

где v — тангенциальная скорость, а г — расстояние от оси.

Существует очень хороший способ демонстрации циркуляции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резер­ вуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного ра­ скручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый эффект, который показан на фиг. 40.12. (Подобное явление вы наверняка много раз видели в ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость ©, она из-за вязкости вскоре затухает и поток становится безвихре­ вым. Однако какая-то циркуляция вокруг трубки все же ос­ тается.

247

Ф и г. 40.12. Вода с циркуляцией вытекает из резервуара.

целиком находится под атмосферным давлением, так что, сог­ ласно уравнению (40.14), она должна обладать свойством

g z -f у /п о 2 = const.

Но здесь v пропорционально Mr, поэтому форма поверхности бу­

дет такой:

(z— г0) = - ^ .

Обратите внимание на одну интересную особенность, которая

наблюдается в случае несжимаемого безвихревого потока (в об­ щем случае ее нет): если у нас есть какое-то одно решение и какое-

то второе решение, то сумма их тоже будет решением. Это спра­ ведливо потому, что уравнения (40.19) — линейные. Полный же набор гидродинамических уравнений, т. е. уравнений (40.8) — (40.10), не линеен, а это уже совсем другое дело. Однако для без­ вихревого потока вокруг цилиндра мы можем сложить один по­ ток (фиг. 40.11, а) и другой поток (фиг. 40.11, б) и получить

новый вид потока (фиг. 40.11, в). Этот новый поток особенно ин­ тересен. Скорость потока на верхней, стороне цилиндра оказы­ вается больше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию

вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, то возникнет действующая на цилиндр вертикальная сила; она назы­

248

вается подъемной силой. Разумеется, если циркуляция отсутст­

вует, то в соответствии с нашей теорией «сухой» воды для любого тела суммарная сила обращается в нуль.

§ 5. Вихревые линии

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описа­

но Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вихревые линии. Под

вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора Й, а плотность их в любой области

пропорциональна величине Й. Из уравнения (II) дивергенция Й всегда равна нулю [вспомните гл. 3, § 7 (вып. 5): дивергенция ро­

тора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны ли­ ниям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и

всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это

означает, что если бы вы пометили частички жидкости, распо­ ложенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих ча­ стичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. За­ давшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить Й. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v.

Ас новым значением Й можно воспользоваться уравнениями (I)

и(II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахожде­ нии поля В по данным токам.) Если нам задан вид потока в ка­ кой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, фор­ мулу (III). Фактически это просто закон сохранения момента

249

Ф и г . 40.13. Группа вихревых линий в момент t (а) и те же самые линии в более поздний момент Г (б).

импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий ци­ линдр, ось которого парал­ лельна вихревым линиям (фиг. 40.13, а). Спустя не­ которое время, тот же са­ мый объем жидкости будет

находиться где-то в дру­ гом месте. Вообще говоря, он будет иметь форму ци­ линдра с другим диаметром и находиться в другом ме­ сте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13, б). Но если изменяет­ ся диаметр, то длина тоже должна измениться так, что­ бы объем остался постоян­

ным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение Q на площадь цилиндра А будет оставаться постоянным, так что в согласии

с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема

в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без тангенциальных

сил величина момента количества движения жидкости внутри

измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции I на угловую скорость жидкости, которая пропорцио­

нальна завихренности ft. Момент же инерции цилиндра пропор­ ционален тг\ Поэтому из сохранения момента количества дви-

250