Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

мент. Выбирая в качестве элемента объема единичный объем и обозначая силу, действующую на единичный объем, через f,

получаем

р X (Ускорение) = f.

Плотность сил можно записать в виде суммы трех слагаемых. Одно из них, силу давления на единицу объема — (Vp), мы уже рассматривали. Но есть еще действующие на расстоянии «внеш­ ние» силы, подобные тяжести или электричеству. Если эти силы консервативные с потенциалом, отнесенным к единице массы, равным <р, то они приводят к плотности сил —р(^ф). (Если же внешние силы не консервативные, то мы вынуждены писать внеш­ нюю силу, приходящуюся на единицу объема, как fB)lculH.) Кроме

нее, на единицу объема действует еще одна «внутренняя» сила, которая возникает из-за того, что в текущей жидкости могут действовать сдвиговые силы. Они называются силами вязкости,

и мы будем обозначать их через fBB3K. Тогда наше уравнение дви­ жения приобретает вид

В этой главе мы будем предполагать, что наша вода «жид­ кая» в том смысле, что ее вязкость несущественна, так что слага­ емое fBB3Kбудет опускаться. Выбрасывая слагаемое с вязкостью, мы делаем приближение, которое описывает некое идеальное вещество, а не реальную воду. Об огромной разнице, возникаю­ щей в зависимости от того, оставляем ли мы слагаемое с вязкостью или нет, в свое время хорошо знал Джон фон Нейманн. Известно ему было и то, что во времена наибольшего расцвета гидродина­

мики, т. е. примерно до 1900 г., основные усилия были направле­ ны на решение красивых математическихзадач в рамках именно

этого приближения, которое ничего не имеет общего с реальными жидкостями. Поэтому теоретиков, которые занимались подоб­

ными веществами, он называл людьми, изучающими «сухую воду». Они отбрасывали важнейшее свойство жидкости. Именно потому,

что в этой главе мы при наших вычислениях тоже этим свойством

будем пренебрегать, я озаглавил ее «Течение «сухой» воды». А обсуждение настоящей, «мокрой» воды мы отложим до следую­

щей главы.

Если мы отбросим fBB3K, то в уравнении (40.4). все нам извест­ но, за исключением выражения для ускорения. Может показать­ ся, что формула для ускорения частиц жидкости должна быть очень простой, ибо очевидно, что если v — скорость частицы в не­ котором месте жидкости, то ускорение ее будет просто равно dvJdt. Но это совсем неверно, и по довольно хитрой причине.

Производная dv/dt выражает изменение скорости v(x, у, z, t) в фиксированной точке пространства. А нам нужно знать, как из-

236

что мы пометили одну капельку воды цветной краской и можем на­ блюдать за ней. За маленький интервал времени At эта капелька

продвинется в другое положение. Если капелька движется по некоторому пути, изображенному на фиг. 40.4, то за промежуток At она из точки Pi переместится в точку Р 2. Фактически в на­ правлении оси х она передвинется на расстояние vxAt, в направ­

лении оси у — на расстояние vvAt, а в направлении оси г — на расстояние vzAt. Мы видим, что если v (х, у, z, t) — скорость

частицы в момент t, то скорость той же самой частицы в момент t-\-At представляет величину V (JH-AX, у+Ау, г+Дг, Н-Д<), при­

чем

гл. 2, вып. 5] мы с точностью до членов первого порядка получаем v(x + vxAt, y + v,jAt, z + vzAt, t + At) =

= v(x, у, г, t)+ d£ v xA t + ^ v yA t+ d£ v zAt -f-J -A f.

Ускорение же Ди/Дt будет равно

Обратите внимание, что, даже когда dvldt=0, т. е. когда скорость в данной точке не изменяется, ускорение все же останется. При­

мером может служить вода, текущая с постоянной скоростью по кругу: она ускоряется даже тогда, когда скорость в данной точке не изменяется. Причина, разумеется, состоит в том, что скорость

237

данной капельки воды, которая первоначально находилась в одной точке, моментом позднее будет иметь другое направле­ ние — это центростремительное ускорение.

Остальная часть нашей теории — чисто математическая: на­ хождение решения уравнения движения, полученного подста­ новкой ускорения (40.5) в (40.4), т. е.

где слагаемое с вязкостью уже выброшено. Воспользовавшись известным тождеством из векторного анализа, это уравнение мож­ но переписать по-другому:

(v-V) v=(Vxv)xv+-j£- V(v-v).

Если определить новое векторное поле Я как ротор скорости v,

т. е.

то векторное тождество можно записать так:

( v V ) v = S lx v + y Vus,

а наше уравнение движения (40.6) примет вид

Вы можете проверить эквивалентность уравнений (40.6) и (40.8), расписывая их по компонентам и сравнивая их, воспользо­ вавшись при этом выражением (40.7).

Если Я всюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (или потенциальным). В гл. 3, §5 (вып. 5), мы уже определяли величину, называемую циркуляцией векторного поля.

Циркуляция по любой замкнутой петле в жидкости равна криво­ линейному интегралу от скорости жидкости в данный момент времени вокруг этой петли:

Циркуляция — (j)V ‘dS.

Циркуляция на единицу площади для бесконечно малой петли

по теореме Стокса будет тогда равна VXv. Таким образом, Я представляет собой циркуляцию вокруг единичной площади (перпендикулярной направлению Я). Кроме того, ясно, что если в любое место жидкости поместить маленькую соринку (именно соринку, а не бесконечно малую точку), то она будет вращаться

с угловой скоростью Я/2. Попытайтесь доказать это. Вы можете также попробовать доказать, что для ведра воды на вращаю­

238

щемся столике $2 равна удвоенной локальной угловой скорос­ ти воды.

Если нас интересует только поле скоростей, то из наших уравнений можно исключить давление. Взяв ротор обеих частей уравнения (40.8) и вспомнив, что р — величина постоянная, а ротор любого градиента равен нулю, а также использовав урав­ нение (40.3), находим

полностью описывают поле скоростей v. На языке математики — если в некоторый момент мы знаем ft, то мы знаем ротор вектора скорости и, кроме того, знаем, что его дивергенция равна нулю, так что в этих физических условиях у нас есть все необходимое для определения скорости v повсюду. (Все это в точности напоминает нам знакомые условия в магнетизме, где V• В =0 и VxB=j/eoC2.) Таким образом, данная величина ft определяет v точно так же, как j определяет В. Затем из известного значения v уравнение (40.9) даст нам скорость изменения ft, откуда мы можем получить новую ft в следующий момент. Используя снова уравнение (40.10) , найдем новое значение v и т. д. Теперь вы видите, как в эти уравнения входит весь механизм, необходимый для вычисле­ ния потока. Заметьте, однако, что эта процедура дает только ско­ рости, а всю информацию о давлении мы потеряли.

Отметим особое следствие нашего уравнения. Если в какой-то момент времени ( повсеместно ft= 0, то dtl/dt тоже исчезает, так

что ft всюду останется равной нулю и в момент /+ Д /. Отсюда следует, что поток все время остается безвихревым. Если вна­ чале поток не вращался, то он так никогда и не начнет вращаться. При этом уравнения, которые мы должны решать, таковы:

F -v = 0, V x v = 0 .

Они в точности напоминают уравнения электростатики или маг­ нитостатики в пустом пространстве. Позднее мы вернемся к ним

ирассмотрим некоторые частные задачи.

§3. Стационарный поток; теорема Бернулли

Вернемся к уравнениям движения (40.8), но ограничимся теперь приближением «стационарного» потока. Под стационар­ ным потоком я подразумеваю поток, скорость которого в любом

239

месте жидкости никогда не изменяется. Жидкость в любой точке постоянно заменяется новой жидкостью, движущейся в точности таким же образом. Картина скоростей всегда выглядит одинако­ во, т. е. v представляет статическое векторное поле. Как в магни­ тостатике мы рисовали силовые линии, так и здесь можно начер­ тить линии, которые всегда касательны к скорости жидкости (фиг. 40.5). Эти линии называются «линиями тока». Для стаци­ онарного потока они действительно представляют реальные пути частиц жидкости. (В нестационарном потоке картина линий тока меняется со временем, однако в любой момент времени она не представляет пути частиц жидкости.)

Стационарность потока вовсе не означает, что ничего не про­

исходит — частички жидкости движутся и изменяют свои ско­ рости. Это означает только то, что dv/dt=0. Если теперь мы ска-

лярно умножим уравнение движения на v, то слагаемое v • (Q X v) выпадет и у нас останется только

Согласно этому уравнению, при малых перемещениях в направ­ лении скорости жидкости величина внутри скобок не изменя­

ется. В стационарном потоке все перемещения направлены вдоль

линий тока; поэтому уравнение (40.12) говорит, что для всех точек вдоль линии тока

Это и есть теорема Бернулли. Постоянная, вообще говоря, для

различных линий тока может быть разной; мы знаем только, что левая часть уравнения (40.13) постоянна всюду вдоль данной

V{?44 y2','<*>}=0‘

Ф и г . 40.5. Л инии тока ста­ ционарного потока.

240