Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Начнем с рассмотрения гидростатики, т. е. теории неподвиж­

ной жидкости. Если жидкость находится в покое, то на нее не действуют никакие сдвиговые силы (даже в вязкой жидкости). Поэтому закон гидростатики заключается в том, что напряжения

внутри жидкости всегда нормальны к любой ее поверхности. Нормальная сила на единичную площадь называется давлением.

Из того факта, что в неподвижной жидкости нет сдвигов, следует, что напряжение давления во всех направлениях одинаково (фиг. 40.1). Займитесь самостоятельно доказательством того, что если на любой плоскости в жидкости сдвиг отсутствует, то давление во всех направлениях должно быть одинаковым.

Давление в жидкости может изменяться от точки к точке. Так, в неподвижной жидкости на поверхности Земли давление будет изменяться с высотой из-за веса жидкости. Если плотность жид­ кости р считается постоянной и давление на некотором нулевом уровне обозначено через р0 (фиг. 40.2), то давление на высоте

h над этой точкой бу­ дет p=Po—pgh, где g —

сила тяжести единицы массы.

Комбинация p + p g h в неподвижной жид­ кости остается постоян­ ной. Вы знаете это со­ отношение, но теперь мы получим более общий

Ф и г . 40.2. Давление в не■

подвижной жидкости.

232

результат, где наше соотношение будет лишь частным слу­ чаем. Возьмем маленький кубик воды. Какая сила действует на него в результате оказываемого давления? Поскольку давление в любом месте во всех направлениях одинаково, то полная сила, действующая на единицу объема, может быть обусловлена только изменением давления от точки к точке. Предположим, что дав­ ление изменяется в направлении оси х, и выберем направления

других осей координат параллельно ребрам кубика. Давление на грань с координатой х дает силу pAyAz (фиг. 40.3), а давление на грань с координатой х-\-Ах дает силу —[р+ (др/дх) AxlAyAz, так что результирующая сила равна —(др/дх) АхАуАг. Если

же мы учтем остальные пары граней куба, то нетрудно убедиться, что сила давления на единичный объем равна —Vp. Если вдоба­ вок есть еще и другие силы, наподобие силы тяжести, то давле­ ние при равновесии должно компенсироваться ими.

Разберем случай, когда такие дополнительные силы можно описать потенциальной энергией, наподобие силы тяжести. Обоз­ начим через ф потенциальную энергию единицы массы. (Для притяжения, например, ф просто равно gz.) Сила, действующая

на единичную массу, задается через потенциал ф выражением

— Уф, а если плотность жидкости равна р, то на единицу объема будет действовать сила —рУф. В состоянии равновесия эта дей­ ствующая на единичный объем сила в сумме с силой давления

Это и есть уравнение гидростатики. В общем случае оно не имеет решения. Если плотность изменяется в пространстве каким-то

произвольным образом, то нет возможности уравновесить все силы и жидкость не может находиться в состоянии статического равновесия. В ней возникнут разные конвекционные потоки. Это видно прямо из уравнения, ибо член с давлением представляет чистый градиент, тогда как второй член из-за плотности р не может быть им. И только когда величина р постоянна, потен­ циальный член становится чистым градиентом. Решение уравне­

233

ния в этом случае имеет вид

р + рф= const.

Другая возможность, допускающая состояние равновесия,— это когда р зависит только от р. Однако на этом мы расстанемся

с гидростатикой, ибо она не так интересна, как движущаяся жидкость.

§ 2. Уравнение движения

Сначала обсудим движение жидкости с чисто абстрактной теоретической стороны, а затем рассмотрим некоторые частные примеры. Чтобы описать движение жидкости, мы должны задать в каждой точке ее некие свойства. Например, вода (будем на­

зывать жидкость простой «водой») в разных местах движется с различными скоростями. Следовательно, чтобы определить ха­

рактер потока, мы должны в каждой точке и в любой момент вре­ мени задать три компоненты скорости. Если нам удастся найти уравнения, определяющие скорость, то мы будем знать, как в любой момент движется жидкость. Но скорость — не единствен­

ная характеристика жидкости, которая меняется от точки к точ­ ке. Только что мы изучали изменение давления от точки к точке.

А есть еще и другие переменные. От точки к точке может меняться также плотность. Вдобавок жидкость может быть проводником

ипереносить электрический ток, плотность которого j изменя­

ется от точки к точке как по величине, так и по направлению. От точки к точке может меняться температура, магнитное поле

ит. д. Так что число полей, необходимых для полного описания ситуации, зависит от сложности задачи. Очень интересные явле­ ния возникают, когда доминирующую роль в определении пове­ дения жидкости играют токи и магнетизм. Эта наука носит назва­ ние магнитогидродинамика. В настоящее время ей уделяется

очень большое внимание. Но мы не собираемся рассматривать эти весьма сложные случаи, ибо имеется немало менее сложных, но столь же интересных явлений, и даже этот более элементар­ ный уровень будет достаточно труден.

Возьмем случай, когда нет ни магнитного поля, ни проводи­ мости и нам, кроме того, не следует беспокоиться о температурах, ибо мы предположим, что температура в любой точке единствен­ ным образом определяется плотностью и давлением. Фактически мы уменьшим сложность нашей работы, допустив, что плотность постоянна, т. е. что жидкость существенно несжимаема. Другими словами, мы предполагаем, что изменения давлений настолько малы, что производимыми ими изменениями плотности можно пренебречь. Если бы это было не так, то в дополнение к явлениям, рассмотренным здесь, необходимо было бы учитывать и другие

234

явления, скажем распространение звуковых или ударных волн. Распространение звуковых и ударных волн мы уже в какой-то степени изучали, так что при нашем рассмотрении гидродина­ мики мы изолируемся от этих явлений, допустив, что прибли­ женно плотность р постоянная. Легко определить, когда такое предположение о постоянстве р будет хорошим. Если скорость по­ тока гораздо меньше скорости звуковой волны, то нам не нужно заботиться об изменениях плотности. Тот факт, что вода усколь­ зает от нас при попытке понять ее, не связан с этим приближением постоянной плотности. Усложнения, которые все-таки позволили

ей остаться непонятой, мы обсудим в следующей главе. Общую теорию жидкостей мы должны начать с уравнения

состояния жидкости, связывающего давление и плотность; в

нашем приближении оно имеет очень простой вид:

р = const.

Эго и есть первое уравнение для наших переменных. Следую­ щее соотношение выражает сохранение вещества. Когда вещество утекает из какой-то точки, то количество его в этой точке должно уменьшаться. Если скорость жидкости равна v, то масса, кото­ рая протекает за единичное время через единицу площади по­ верхности, равна нормальной к поверхности компоненте pv. Подобное соотношение у нас получалось уже в теории упругости. Из знакомства с электричеством мы знаем также, что дивергенция такой величины определяется скоростью уменьшения плотности. Также и здесь уравнение

выражает сохранение массы жидкости: это гидродинамическое уравнение непрерывности. В нашем приближении, т. е. в прибли­

жении несжимаемой жидкости, плотность р постоянна и урав­ нение непрерывности превращается просто в

Дивергенция скорости жидкости v, как и магнитного поля В, равна нулю. (Гидродинамические уравнения очень часто оказы­ ваются аналогичными уравнениям электродинамики; вот почему мы сначала изучали электродинамику. Некоторые предпочитают другой путь, считая, что сначала следует изучать гидродинами­ ку, чтобы потом было легче понять электричество. На самом же деле электродинамика гораздо проще, чем гидродинамика.)

Следующее уравнение мы получим из закона Ньютона; оно говорит нам, как происходит изменение скорости в результате действия сил. Произведение массы элемента объема жидкости на ускорение должно быть равно силам, действующим на этот эле­

235