Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

так что

Оно в точности напоминает уравнение (40.13), за исключением того, что теперь постоянная во всей жидкости одна и та же.

На самом деле теорема Бернулли не означает ничего боль­ шего, чем утверждение о сохранении энергии. Подобные теоре­ мы о сохранении дают нам массу информации о потоке без де­ тального решения уравнений. Теорема Бернулли настолько важна и настолько проста, что мне бы хотелось показать вам, как можно ее получить другим способом, отличным от тех фор­ мальных вычислений, которые мы только что провели. Представь­ те себе пучок линий тока, образующих трубку тока (фиг. 40.6, о). Поскольку стенки трубки образуются линиями тока, то жидкость через них не протекает. Обозначим площадь на одном конце труб­ ки через Alt скорость жидкости через оь плотность через pt, а

потенциальную энергию через <pi. Соответствующие величины на другом конце трубки мы обозначим через A t, va, р2 и (р2. После короткого интервала времени At жидкость на одном конце пере­

двинется на расстояние и,Д/, а жидкость на другом конце — на расстояние vaAt (см. фиг. 40.6, б). Сохранение массытребует, что­

бы масса, которая вошла через Аи была равна массе, которая

V,

Фиг. 40.6. Движение жидкости в трубке.

241

вышла через Аг. Изменение масс в этих двух концах должно быть

одинаково:

Таким образом, мы получаем равенство

Оно говорит нам, что при постоянном р скорость изменяется обратно пропорционально площади трубки тока.

Вычислим теперь работу, произведенную давлением в жид­

кости. Работа, произведенная над жидкостью, входящей со сто­ роны сечения Аи равна p^AiViAt, а работа, произведенная в сече­

нии А 2, равна p2A2v2At. Следовательно, полная работа, произ­ веденная над жидкостью, заключенной между At и Л5, будет

P iA ^A t—p2A2v2At,

что должно быть равно возрастанию энергии массы жидкости ДМ при прохождении от Лх до А 2. Другими словами,

где Ех— энергия единицы массы жидкости в сечении Аи а Ег— энергия единицы массы в сечении Аг. Энергию единицы

массы жидкости можно записать в виде

E = ±v* + <p+ U,

где */4 V*— кинетическая энергия единицы массы, <р — потен­ циальная энергия, a U — дополнительный член, представляю­

щий внутреннюю энергию единицы массы жидкости. Внутрен­ няя энергия может соответствовать, например, тепловой энер­ гии сжимаемой жидкости или химической энергии. Все эти ве­ личины могут изменяться от точки к точке. Воспользовавшись выражением для энергии в уравнении (40.16), получим

PiAjV^i p2A2v2At

Но мы видели, что ДМ=рЛоД/, и получили

а это как раз приводит нас к результату Бернулли, где имеется дополнительный член, представляющий внутреннюю энергию. Если жидкость несжимаемая, то внутренняя эйергия с обеих сторон одна и та же и мы снова убеждаемся в справедливости уравнения (40.14) вдоль любой линии тока.

242

Фиг. 40.7, Вытекание жидкости из резервуара.

Рассмотрим теперь некоторые простые примеры, в которых ин­ теграл Бернулли позволяет нам сразу описать поток. Предпо­

ложим, что из отверстия вблизи дна резервуара вытекает вода (фиг. 40.7). Рассмотрим случай, когда скорость потока увых в отверстии гораздо больше скорости потока вблизи поверхности воды в резервуаре; другими словами, предположим, что диаметр резервуара настолько велик, что падением уровня жидкости мож­ но пренебречь. (Мы могли бы при желании проделать и более аккуратные вычисления.) Давление на поверхность воды в ре­ зервуаре равно р0 (атмосферному давлению), т. е. такое же, как и давление на бока струи. Напишем теперь уравнение Бернулли для линии тока наподобие той, что показана на фиг. 40.7. В верх­ ней части резервуара скорость v мы примем равной нулю; гра­

витационный потенциал <р здесь выберем тоже равным нулю. В отверстии же скорость равна увых, а <р=—gh, так что

Л = Р« + уР^ык—Pgft,

Скорость получилась в точности равной скорости предмета, па­ дающего с высоты h. В этом нет ничего удивительного — ведь

в конечном счете вода на выходе получает свою кинетическую энергию из запаса потенциальной энергии воды, находящейся наверху резервуара. Однако не воображайте, что вы можете определить скорость убывания жидкости из резервуара, умно­ жив эту скорость ивыхна площадь отверстия. Скорости частиц жидкости в тот момент, когда струя вырывается из отверстия, не параллельны друг другу, а имеют компоненту, направленную к центру потока; струя сужается. Пройдя небольшое расстояние, струя перестает сжиматься, и скорости становятся параллельны­ ми. Таким образом, полный поток равен скорости, умноженной на площадь именно в том месте, где сжатие струи прекратилось.

На самом деле, если у нас есть выходное отверстие просто в виде

243

Ф и г. 40.8. Если выходная труба вставлена внутрь жидкости, то сок­ ращение струи составляет половину площади отверстия.

62% от площади отверстия.Уменьшение эффективной площади выходного отверстия для различных форм выходных труб разное, а его экспериментальное значение можно найти в таблице ко­ эффициентов истечения.

Если выходная труба вдается в резервуар, как показано на фиг. 40.8, то можно весьма красиво доказать, что коэффициент истечения в точности равен 50%. Я лишь намекну вам, как про­ водится это доказательство.

Чтобы получить скорость, мы использовали закон сохранения энергии [см. уравнение (40.18)1. Можно еще рассмотреть закон сохранения импульса. Поскольку с выходящей струей должен утекать и импульс, то к поперечному сечению выходящей трубы должна быть приложена сила. Откуда же она берется? Сила эта должна происходить от давления на стенки. Но наше выходное отверстие мало и расположено далеко от стенок, поэтому ско­ рость жидкости вблизи стенок резервуара будет очень мала. Следовательно, давление на каждую стенку, согласно (40.14), почти точно такое же, как статическое давление в покоящейся жидкости. При этом статическое давление на любую точку с од­

ной стороны резервуара должно уравновешиваться равным дав­ лением на противоположную стенку, за исключением точки на

стороне, противоположной выходной трубе. Если теперь мы вы­ числим импульс, выталкиваемый со струей этим давлением, то сможем показать, что коэффициент истечения равен 1/ 2. Однако этот метод непригоден для отверстия, наподобие показанного на фиг. 40.7, ибо увеличение скорости около стенок вблизи области отверстия дает падение давления, которое невозможно вы­ числить.

Рассмотрим теперь другой пример — горизонтальную трубу с переменным поперечным сечением (фиг. 40.9), по которой от одного конца к другому течет вода. Сохранение энергии, а имен­ но формула Бернулли, говорит, что в суженной области, там, где скорость выше, давление ниже. Мы можем легко продемон­ стрировать этот эффект, измеряя давление в разных местах с различным сечением с помощью столбика воды, сообщающегося с

244

столбика воды. И оно в узких местах действительно оказывается меньше, чем в широких. Если после сужения площадь сечения возвращается к своей прежней величине — той, что была до сокращения, то давление снова возрастает. Формула Бернулли предсказывает, что давление до сужения должно быть тем же, что и после него, однако на самом деле оно заметно меньше. Ошибка нашего предсказания кроется в том, что мы пренебрегли трением, вязкой силой, которая вызывает падение давления вдоль трубы. Однако, несмотря на это падение, давление в узком месте определенно меньше (из-за возрастания скорости), чем по обеим сторонам от него, как это предсказал Бернулли. Скорость v2 должна превышать скорость vu чтобы через сужение могло пройти

то же количество воды. Поэтому вода должна ускоряться, пере­ ходя из широкой части в узкую. Силы, которые приводят к это­ му ускорению, и есть перепад давления.

Этот результат можно прове­ рить с помощью еще одного про­

выбрасывает струю воды вверх

Фиг. 40.10. Доказательство того, что v не равно Y 2gh.

245