Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г . 40.14. Распространяющиеся вихревые кольца.

жения мы бы заключили, что

( е д ) Й , = (уВД)£2г.

Но масса будет одной и той же (Mt=M2), а площадь пропорци­

ональна ft4, так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости мо­ мент количества движения элемента жидкости измениться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14. Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической

коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резино­ вым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить

по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает коль­ цевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело ут­ верждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоя­ щей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы

можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной ско­ ростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предвари­ тельно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

(т. е. в направлении, составляющем с направлением ft правый

винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличива­ ется к внутренней поверхности кольца, причем скорость внутри

кольца направлена вперед. Поскольку линии ft переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответ­ ственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

251

В нашем приближении «сухой» воды мы отбра­ сывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное уравнение

V *v = 0.

Это приближение часто оказывается вполне приемлемым, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем прене­ бречь внутренним трением, называемым нами

253

вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуляция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.

Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы за­ нимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляю­ щую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это

далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы замечали, конечно, что лопасти

вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблю­ дать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вращаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок *. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласова­ лась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности **).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если при­ ложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в

момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в

движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предполо­ жим, что имеются две плоские твердые пластины, между которы­ ми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин непод­ вижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой ско­ ростью о0. Если вы будете измерять силу, требуемую для поддер­ жания движения верхней пластины, то найдете, что она пропор­ циональна площади пластины и отношению vjd, где d — расстоя-

*Большие частицы можно сдуть со стола, а мельчайшие — невозможно. Их верхушки ие «высовываются» в поток.

**Можно представить себе и такой случай, когда это окажется неверным. Теоретически стекло есть тоже «жидкость», однако оно вполне может скользить по стальной поверхности. Так что и такая теория где-то должна «погореть».

254

Площадь А

т•

d

v = 0

Ф и г . 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинами.

ние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига FtА

пропорционально v0/d:

F _ l)a

А ~ ^ d '

Коэффициент пропорциональности г| называется коэффициентом вязкости.

Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2). Силы в этом объеме определяются выражением

Далее, dvjdy представляет скорость изменения деформаций сдви­

га, определенных нами в гл, 38, так что силы в жидкости пропор­ циональны скорости изменения деформаций сдвига.

В общем случае мы пишем

( 4 1 '3 )

При равномерном вращении жидкости производная dvjdy

равна доу/дх с обратным знаком, a Sxy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно вращающейся жидкости

255