Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

мацням, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для на­ глядности можно представлять, что каждая пара атомов соеди­ нена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки

между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем ki. Пружинки между двумя ато­

мами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через kt.

(Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы смо­ жете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором etj. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и г , но мы для большей

наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­ нентами: ехх, еху и evv. Если один из атомов выбрать в качестве

начала координат, то перемещение любого другого атома за­ дается уравнением типа (39.9):

ии ~ е*иХ“Ь ei/I/У'

Назовем атом с координатами х=у—0 «атомом /», а номера его

соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х - и «/-компоненты перемещения их, и„,

выписанные в табл. 39.1.

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению AV2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между

226

Фиг. 39.11. Перемещение ближайших и следующих побли-

воети соседей этома 1. (Масштаб сильно искажен.)

атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка ^-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2.

Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­

нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент их и иу в диагональном направлении:

(«* + «,)•

Воспользовавшись величинами их и и„, можно получить выраже­

ние для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна

сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энер-

227

г и ю ч ер ез t / 0, п о л у ч а ем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с ато­ мом /, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и ^/-компоненты деформации, вклад в

них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диаго­ нальными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия

равна

k2{e%fl*+el„a*). (39.46)

Упругие постоянные связаны с плотностью энергия w уравне­

нием (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с од­ ним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на

один атом, ибо. на каждый из двух атомов, соединенных пружин­ кой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/а3 атомов, то и и У, связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные Сцы, нужно только воз­

вести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е^ек( с соответствующими

коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая сла­ гаемые с е\х и е\и, мы находим, что множитель при нем равен

(ftx-)-2fc2)a 2,

поэтому

'^хххх'— ^ииии~~ а

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения еххеиу от evvexx,

то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при еххеуу в урав­

нении (39.45) равен 262, так что получаем

228

Однако из-за симметрии выражения для энергии при переста­ новке двух первых значений с двумя последними можно считать,

ЧТО С х х у у ^у ухху ПОЭТОМУ

С= Г — ^2

Таким же способом можно получить

Г — Г —

^Хуху — ^ухух— — *

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений

симметрии. Подытожим наши результаты:

Сххху ~ Схууу = И Т. Д. = 0.

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявля­ ются в постоянных ki и k2. В нашем частном случае Схуху=Сххуу.

Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заме­ тили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии,

что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несом­ ненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для не­ которых кубических кристаллов *. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Сххуу, вообще говоря, не равно Схуху. При­

чина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это кова­ лентные силы, которые обладают особым свойством направ­ ленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, распо­ ложенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают

* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, мно­ гие пишут:

229