Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред
изотропного материала, будет
5,7= 2це,у-f-% |
fy/* |
(39.20) |
(Первая константа обычно записывается как 2р; при этом коэф
фициент |! равен модулю сдвига, определенному нами в предыду щей главе.) Постоянные ц и Кназываются упругими постоянны
ми Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12),
вы видите, что
(39.21)
Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.
Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, напри мер через модуль Юнга У и отношение Пуассона а. На вашу
долю оставляю показать, что
(39.22)
§ 3. Движения в упругом теле
Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равно весии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энер
гия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5). Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внеш ними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоя нии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема fnaemBПолная же внешняя сила Faaem
равна интегралу от fBHeuiH по всему объему кусочка:
(39.23)
В равновесии эти силы балансируются полной силой FBHTtp, действующей по поверхности А со стороны окружающего мате-
Ф и г . 39.5. Маленький |
злемент объема V, |
ограниченный поверхностью |
А, |
риала. Когда же этот кусочек не на
ходится в равновесии, а движется, сум ма внутренних и внешних сил будет рав на произведению массы на ускорение. При этом мы получаем
^внешя+ FBIiyTp = J |
(39.24) |
где р — плотность материала, а г — его ускорение. |
Теперь мы |
можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать
Fвиутр ~ J ( |
Молвим “Ь Рг) dV. |
(39.25) |
V |
|
|
Нашу запись можно упростить, положив |
|
|
f — |
^внешн 4"РГ. |
(39.26) |
Тогда уравнение (39.25) запишется в виде |
|
|
F»Byip = {fdK. |
(39.27) |
|
|
V |
|
Величина, названная нами FonyTp, связана с |
напряжениями |
|
в материале. Тензор напряжений S tj был определен нами в гл. 31 таким образом, что х-компонента силы dF, действующей на эле мент поверхности da с нормалью п, задается выражением
dFx= (Sxxnx+ SXunv+Sxznz) da. |
(39.28) |
Отсюда х-компонентасилы F„liyTp, действующей на наш кусо чек, равна интегралу от dFx по всей поверхности. Подставляя
это в х-компоненту уравнения (39.27), получаем
$ (S**nx+ Sxynv+ |
Sxztiz)da= § fx dV • |
(39.29) |
A |
v |
|
Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегралом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве. Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из 5 в левой части (39.29), то она выг лядит в точности как интеграл от величины (S-n), т. е. нормаль-
217
ной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна потоку S через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции S. На самом деле все это справедливо независимо от того, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема,
которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в
as** |
(39.30) |
|
vК~дГ |
||
|
Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать диффе ренциальное уравнение для любой компоненты f:
(39.31)
Оно говорит нам, как связана сила, действующая на единицу объема с тензором напряжения S y .
Вот как работает эта теория внутренних движений твердого тела. Если первоначально нам известны перемещения, задавае мые, скажем, вектором и, то можно найти деформации ец. Из <
деформаций с помощью уравнения (39.12) можно получить на пряжения. Затем с помощью уравнения (39.31) мы из напряжений можем найти плотности сил f. А зная f, мы из уравнения (39.26)
получаем ускорение г в материале, которое подскажет нам, как изменятся перемещения. Собирая все это вместе, мы получаем ужасно сложные уравнения движения упругого твердого тела. Я просто напишу вам ответ для изотропного материала. Если вы
воспользуетесь для S y уравнением (39.20) и запишете еу в виде J/j (dut/dxj+duj/dxi), то окончательно получите векторное урав
нение:
f=(A,-j-p)V(V .u)+pV2u. (39.32)
Вы можете очень просто убедиться в том, что уравнение дол жно иметь такую форму. Сила должна зависеть от второй произ
водной — перемещения и. Но какие можно составить вторые производные и так, чтобы они были векторами? Одна из них V (V-u); это самый настоящий вектор. Есть еще только одна та кая комбинация — это V2u. Так что наиболее общей формой силы будет
f = a V (V’ti)-f-6V2u,
что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого VX X VXu, которое тоже вектор. Но вспомните, что VX VXи в точ
218
ности равно V*u—V(V-u), т. е. это линейная комбинация двух уже написанных слагаемых. Так что оно не добавит ничего нового. Мы еще раз доказали, что в изотропном материале есть только две упругие постоянные.
Для получения уравнения движения материала мы можем положить выражение (39.32) равным pd2u/d/a и, пренебрегая объемными силами типа силы тяжести, написать
p g = ( b - f p ) V ( V . u ) + p V 2u. |
(39.33) |
Эго уравнение выглядит похожим на волновое уравнение, с кото рым мы познакомились в электромагнетизме, за исключением одного добавленного слагаемого, которое усложняет дело. Для материалов, упругие свойства которых всюду одинаковы, мы можем увидеть, на что похоже общее решение. Вы, наверное, помните, что любое векторное поле может быть записано в виде суммы двух векторов, у одного из которых нулю равна диверген ция, а у другого — ротор. Другими словами, можно положить
u = |
Uj-f-u„ |
(39.34) |
где |
V x t i , = 0. |
(39.35) |
(V-u1) = 0 , |
||
Подставляя вместо и в уравнении (39.33) Ux+Uj, получаем |
||
p-£r(ut -ыд = (X+р) v •(V•иг) +pv2(Ul+ и,), |
(зэ.зв) |
|
Взяв дивергенцию этого уравнения, мы можем исключить из него Ux:
р -J r (? • щ) = & + р ) V2 (V • « д + рv . v x .
Поскольку операторы V2 и V могут быть переставлены, можно вынести оператор дивергенции и получить
^ - { р ^ - ( ^ + ^ ) ^ и»} = 0. |
(39.37) |
А так как V x u ,, по определению, равно нулю, то ротор выра жения в фигурных скобках также будет нулем, так что выраже ние в скобках само по себе тождественно равно нулю и
p ^ = (M -2p)V 2u,. |
(39.38) |
Это векторное волновое уравнение для волн, движущихся со
скоростью C*=Vr(A,+2p)/p. Поскольку ротор и, есть нуль, то эти волны не связаны со сдвигом, а представляют просто волны
21»
