стержня. Таким образом, получается кривая
у = К sin
Беря вторую производную, находим
d2y _
dx3 L2
Сравнивая это с (38.45), видим, что сила равна
р - n*XL |
(38.46) |
Г —п Ll . |
Для малого продольного изгиба сила не зависит от перемеще ния у\
Физически же получается вот что. Если сила F меньше опре
деляемой уравнением (38.46), то никакого продольного изгиба не происходит. Но если она хоть немного больше этой силы, то
балка внезапно и очень сильно согнется, т. е. под действием сил, превышающих критическую величину я аУ7/£* (часто назы ваемую «силой Эйлера»), балка будет «гнуться». Если на втором этаже здания разместить такой груз, что нагрузка на поддер живающие колонны превысит силу Эйлера, то здание рухнет. Другая область, где очень важны продольно изгибающие си лы,— это космические ракеты. С одной стороны, ракета должна выдерживать свой вес на стартовой площадке и вынести напря жения во время ускорения, а с другой — очень важно свести вес всей конструкции до минимума, чтобы полезная нагрузка и по лезная мощность двигателей были как можно больше.
Фактически превышение силы Эйлера вовсе не означает, что
после этого балка полностью разрушится. Когда отклонение ста новится большим, сила благодаря члену (dzldx)* в уравнении
(38.38), которым мы пренебрегли, будет на самом деле больше вычисленной. Чтобы найти силы при большом продольном изги бании стержня, мы должны вернуться к точному уравнению (38.44), которое получалось до использования приближенной
206
Ф и г . 38.18. Формы продольно изогнутого стержня.
* |
Ь |
тые геометрические свойства *.
Решается оно |
немного сложнее, |
но зато гораздо |
интереснее. Вмес |
то того чтобы описывать кривую через л и у, можно воспользовать
ся двумя новыми переменными: S — расстоянием вдоль кривой и 0 — наклоном касательной к кри вой (фиг. 38.17). Тогда кривизна
будет |
равна скорости изменения |
угла |
с расстоянием |
|
J ___ d0_ |
|
R ~ dS ’ |
Г \
F2 Ft
Поэтому точное уравнение (38.44) можно записать в виде
d6 _____ F_ dS ~ Y l У'
После взятия производной этого уравнения по S и замены dyldS
на sin 6 получим
■ §- = ~ w sinQ' |
(38.47) |
[Если углы 6 малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть, здесь все в порядке.]
Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой FIYI другой
постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып. 1), мы узнали, как нахо дить решение такого уравнения численным методом **. В ответе вы получите очаровательную кривую. На фиг. 38.18 показаны три кривые для разных значений постоянной FIYI.
* Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других физических си туациях: например, в мениске на поверхности жидкости, заключенной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением.
** Решение его можно выразить также через особые функции, называемые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз и навсегда была вычислены и протабулнроваиы.
Г л а в а
УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ*
§1. Тензор деформации
Впредыдущей главе мы говорили о возму щениях упругих тел в простых случаях. В этой
главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае.
Как описать условия напряжения и деформа ции в большом куске желе, скрученном и сжа
том каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в
каждой точке упругого тела, а это можно сде лать, задав в ней набор шести чисел — компо нент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.
Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положе
ние т=(х, у, г), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение г'=(х’, у', г'), как это по
казано на фиг. 39.1. Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точку Р \
§I.Тензор деформации
§2.Тензор
упругости
§3.Движения
вупругомтеле
§4.Неупругое
поведение
§ 5.Вычисление упругих постоянных
и = г'— г. |
(39.1) |
Перемещение и зависит, конечно, от точки Р,
из которой оно выходит, так что и есть векторная функция от г или от (х, у, г).
Сначала рассмотрим простейший случай, ко
гда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформа-
* Литература: Ch. К i 11 е 1, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется пере вод: Ч. К и т т e л ь, Введение в физику твердого тела, Физматгиэ, М., 1962.)
208
До |
После |
Ф и г . 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформирооанного кубит после деформации перемещается в точку Р '.
цией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то
материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2). Перемещение их пятнышка с ко ординатой х пропорционально самому х. Действительно,
ох |
ы |
х ~ |
I ’ |
Мы будем записывать их следующим образом:
Разумеется, константа пропорциональности ехх — это то же,
что наше старое отношение А///. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)
Если же деформация неоднородна, то связь между х и их
в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем
случае мы определим ехх как своего рода локальную величину АШ, т. е.
(39.2)
Это число, которое теперь будет функцией х, у, г, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и г.
Мы будем описывать их величинами
. |
дии |
. |
диг |
(39.3) |
|
ем ~ |
ду |
' |
дг * |
||
|
209
До
Ф и г . S9.2. Однородная деформация растяжения.
Кроме того, нам нужно опи сать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выдели ли маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3)*. При такой деформации переме щение в направлении х каждой
частицы пропорционально ее координате у:
е |
У, |
(39.4) |
и* = -о |
а перемещение в направлении у пропорционально х:
(39.5)
Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью
их= ехууг иу= еухх,
где
у
Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщен ную деформацию сдвига можно описать, определив величины е^ и еух следующим образом:
Оху |
дих |
(39.6) |
~ЩГ' |
Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемеще ния их и иу имеют вид е
ux = jy ;
* Предположим на минуту, что полный угол сдвига 6 делится на две рав ные части, чтобы деформация была симметричной относительно осей х н у.
210