Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по а, т.е.

Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на не­ которую сложную функцию <т. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше единицы. Рас­

тянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становится жестче, когда его

боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.

§ 3. Кручение стержня; волны сдвига

Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различ­ ные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скру­ ченный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных прибо­ рах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знаете, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, про­ порционален углу, причем константа пропорциональности, оче­

видно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств ма­ териала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы

всостоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться

вгеометрии.

На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, обладаю­ щий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен

на угол ф по отношению к другому. Если мы хотим связать де­ формацию с тем, что уже известно, то стержень можно предста­ вить состоящим из множества цилиндрических оболочек и вы­ яснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рас­ смотрения тонкого короткого цилиндра радиусом г (меньшего,

196

чем а) и толщиной Лг, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь

посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который перво­ начально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент цилиндра сдвигается, а угол сдвига 0 равен

Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравнения

(38.13)]

Напряжение среза равно тангенциальной силе AF, действую­ щей на конец квадратика, поделенной на его площадь Д1Дг

(см. фиг. 38.9, в):

_ ДР

ё ~ Ш г *

Сила AF, действующая на конец такого квадратика, создает

относительно оси стержня момент сил Ат, равный

Полный момент т равен сумме таких моментов по всему перимет­ ру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все А/ составляли 2яг, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен

нию к кручению пропорциональна кубу радиуса т и толщине Аг и обратно пропорциональна его длине L.

Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой серии

таких концентрических труб, каждая из которых закручена на угол <р (хотя внутренние напряжения в каждой трубе различны).

Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручива­ ния каждой оболочки, так что для сплошного стержня

x = 2 n \i~ ^ r 3dr,

где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После интег­

197

а

z

6

т

zz+Az

Фи г . 38.10. Волна кручения в стержне (а) и глемент объема стержня (б).

Если закручивать стержень, то его момент оказывается пропор­ циональным углу и четвертой степени диаметра: стержень

вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относи­ тельно кручения.

Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна

кручения. Это явление более интересно, нежели простое стати­ ческое скручивание. Посмотрим, можем ли мы понять, как это происходит.

Пусть г — расстояние от некоторой точки до основания стерж­

ня. Для статического закручивания момент сил на всем протя­ жении стержня один и тот же и пропорционален <pIL— полному

углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна dy/dz. Если кручение вдоль стержня неравномерное, то

уравнение (38.25) следует заменить таким:

(38.26)

Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины Az. который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10,6- На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент T (Z), а на конце 2 — другой момент сил T (Z + A Z). Если величина Az

достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в

108

ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать

Полный момент сил Дт, действующий на маленький отрезок стержня между г и Дг, равен разности т (г) и т(г-ЬДг), или Д т= =(dx!dz)Az. Дифференцируя уравнение (38.26), получаем

Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня. Масса его равна

AM = (яа2Дг) р,

где р — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен тгЧ2\ обозначая

момент инерции нашего отрезка через Д /, получаем

Закон Ньютона говорит нам, что Момент силы равен произведе­ нию момента инерции на угловое ускорение, или

Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распро­ страняются по стержню со скоростью

Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем мед­ леннеедвижется волна, а чем он жестче, тем волна бежит быстрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.

Волны кручения представляют частный случай волн сдвига.

Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В вол­

нах кручения мы сталкиваемся с особым распределением напря­ жений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при лю­ бом распределении напряжений сдвига будут распространяться с одной и той же скоростью, которая определяется формулой

199

(38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.

В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внутри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжатия». Они подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. пере­ мещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и рас­ пространение волны. (На поверхности, упругого тела могут рас­ пространяться и другие типы волн, называемые «волнами Рэ­ лея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.)

Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Земле?

Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле от­ лична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стержню. Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раздается» в сто­ роны — он может сжиматься только в одном направлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специальный случай сжа­ тия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомились еще со скоростью звука в газе. Рассуждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна У У'/р, где У'— «продольный модуль», т. е. давление,

деленное на относительное изменение длины (для случая «сдав­ ленного» стержня). Равно это просто отношению FIA к А///,

полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выражением

Поскольку значение а заключено между 0 и Чи то модуль

сдвига р меньше модуля Юнга У, а У', кроме того, больше У, так что

Р < У < У ' .

Эго означает, что продольные волны распространяются быстрее, чем волны сдвига. Один из наиболее точных способов определе­ ния упругих постоянных вещества дает измерение плотности материала и скоростей двух сортов волн. Из этой информации можно получить как У, так и а. Кстати, именно измеряя разность

во времени прихода двух сортов волн от землетрясения, сейсмо­ логи только по сигналам, принятым одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра.

200