Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

механизм упругости, так что наше исследова­ ние не будет обладать той полнотой, к которой мы стремились в предыдущих главах. Основная цель лекции — познакомить вас с некоторыми способами обращения с такими практическими задачами, как, например, задача об изгибании бруска.

Если вы надавите на кусок материала, то материал «поддастся» — он деформируется. При достаточно малых силах относительное переме­ щение различных точек материала пропорцио­ нально силе. Такое поведение называется уп­ ругим. Мы будем говорить только о таком уп-

137

ругом поведении. Сначала мы выпишем фундаментальный закон упругости, а затем применим его к нескольким различным си­ туациям.

Предположим, что мы взяли прямоугольный брусок длиной I, шириной w и высотой Л (фиг. 38.1). Если мы потянем за его ко­ нец с силой F, то его длина увеличится на Д/. Во всех случаях

мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения. Опыты показывают, что для большого числа материалов при до­ статочно малых удлинениях сила пропорциональна удлинению

Это соотношение известно как закон Гука.

Удлинение бруска А/ зависит и от его длины. Это можно про­ демонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скрепим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каждый будет действовать одна и та-же сила и каждый из них удлинится на Д/. Таким образом, удлинение бруска длиной 21 будет в два

раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной /. Чтобы получить величину, полнее характеризующую сам материал и менее зависящую от формы образца, будем опе­ рировать отношением Д/// (удлинение к первоначальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от Г.

(38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предпо­

ложим, что мы поставили два бруска бок о бок: Тогда для дан-

188

кого удлинения Д/ мы должны приложить силу F к каждому брус­

ку, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть про­ порциональна площади поперечного сечения бруска А. Чтобы

получить закон, в котором коэффициент пропорциональности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

Постоянная Y определяется только свойствами природы материа­ ла; ее называют модулем Юнга. (Обычно модуль Юнга обознача­

ется буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электри­

ческого поля, для энергии и для э.д.с., так что теперь лучше

взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади, называют напря­ жением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. от­ носительное удлинение, называют деформацией. Уравнение (38.3)

можно переписать следующим образом:

Напряжение = (Модуль Юнга) X (Деформация).

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается

в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой

толщине w и еще отношению МП. Относительное боковое сжа­

тие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно записывается в виде

где постоянная а характеризует новое свойство материала и на­ зывается отношением Пуассона. Это число, положительное по

знаку, по величине меньше Va. (То, что постоянная от в общем слу­

чае должна быть положительной, «разумно», но ниоткуда не следует, что она должна быть такой.)

Две константы К и о полностью определяют упругие свойства однородного изотропного (т. е. некристаллического) материала.

В кристаллическом материале растяжение и сокращение в раз­ ных направлениях может быть различным, поэтому и упругих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ограничим наши обсуждения однородными изотропными материалами, свойства которых могут быть описаны постоянными о и К. Как обычно, существует множество способов описания свойств.

189

Некоторым, например, нравится описывать упругие свойства материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими о и Y.

Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиции будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете некоторое дополнительное перемещение, то результирующее перемещение будет суммой перемещений, которые бы получились при незави­ симом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: прин­ цип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нуж­ но для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, ко­ нечно, так; из этих принципов вы действительно можете полу­ чить почти все, ибо ваши теперешние математические возможно­ сти позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

§2. Однородная деформация

Вкачестве первого примера посмотрим, что происходит с пря­ моугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом возник­ нет сила, действующая на каждую грань бруска и пропорцио­

нальная его площади (фиг. 38.2). Поскольку гидростатическое давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь)

на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматривать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех незави­ симых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна plY:

l “ Y '

Задача 2. Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна — p/Y, а соответствующая

. Р .

Р

190