Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

определить деформацию длины. Для этого боковую деформацию нужно умножить на — а. Боковая деформация равна

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая АI как Д /х+Д /а+Д /з, получаем

Ц-------f ( l - 2 a ) . (38.6)

Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому

----- 2<г). (38.7)

Интересно также найти изменение объема при гидростатичес­ ком давлении. Поскольку V—twh, то для малых перемещений

можно записать

Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем

(1 -2сг). (38.8)

191

Ф и г . 38.4. Однородный сдвиг.

Имеются любители назы­ вать ДVIV объемной де­ формацией и писать

Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропор­

ционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К. называется объемным модулем и связан

с другими постоянными выражением

Поскольку коэффициент К представляет некоторый практиче­

ский интерес, то во многих справочниках вместо У и о приводятся У и К. Но если вам нужно знать or, то вы всегда можете получить это значение из формулы (38.9). Из этой формулы видно также, что коэффициент Пуассона а должен быть меньше 1/2. Если бы это было не так, то объемный модуль К. был бы отрицательным

и материал при увеличении давления расширялся бы. Это позво­ лило бы добывать механическую энергию из любого кубика, т. е. это означало бы, что кубик находится в неустойчивом равнове­ сии. Если бы он начал расширяться, то расширение продолжа­ лось бы само по себе с высвобождением энергии.

Посмотрим, что получится, если мы приложим к чему-то «косое» напряжение. Под косым, или скалывающим, напряже­ нием мы подразумеваем такое воздействие, как показано на

фиг. 38.4. В качестве предварительной задачи посмотрим, какова будет деформация кубика под действием сил, показанных на

фиг. 38.5. Снова можно разделить эту задачу на две: верти­ кальное давление и горизонтальное растяжение. Обозначая через А площадь грани кубика, мы получаем для изменения гори­

зонтальной длины

Изменение же высоты по вертикали равно просто тому же вы­ ражению с обратным знаком.

192

Ф и г . 38.5. Действие сжи­ мающих сил, давящих на вершину и основание, и рав­ ных им растягивающих сил с двух сторон.

на тело не должен действовать никакой момент сил и оно должно находиться в равновесии. (Подобные силы должны действовать также и в случае, изображенном на фиг. 38.4, поскольку кубик находится в равновесии. Они обеспечиваются тем, что кубик «приклеен» к столу.) При таких условиях говорят, что кубик на­ ходится в состоянии чистого сдвига. Но обратите внимание, что если мы разрежем кубик плоскостями под углом 45°, скажем, вдоль диагонали А на фиг. 38,6, а, то полная_сила, действующая в этой плоскости, нормальна к ней иравна J/2G. Площадь, на ко­ торой действует эта сила, равна ]/'2А; следовательно, напряже­ ние, нормальное к этой плоскости, будет просто G/А. Точно так

же если взять плоскость, наклоненную под углом 45° в другую сторону, т. е. по диагонали В, то мы увидим, что на ней действует

нормальное сдавливающее напряжение, равное — G/А. Из этого ясно, что напряжение при «чистом сдвиге» эквивалентно комби-

Ф и г . 38.6. Две пары сил сдвига (а) создают то же самое напряжение, что и сжимающие — растягивающие силы (б).

193

нации растягивающего и сжимающего напряжений, направлен­ ных под прямым углом друг к другу и под углом 45° к первона­ чальным граням кубика. Внутренние напряжения и деформа­ ции будут такими же, как и в большом кубике материала под действием сил, показанных на фиг. 38.6, б. Но эту задачу мы уже решили. Изменение длины диагонали задается уравнением (38.10):

(Одна диагональ сокращается, а другая удлиняется.)

Часто деформацию сдвига удобно описывать с помощью угла «искажения» кубика 0, показанного на фиг. 38.7. Из геометрии фигуры вы видите, что горизонтальный сдвиг 6 верхнего края

Напряжение сдвига g определяется как отношение тангенциаль­ ной силы, действующей на грань, к площади грани g=G/A.

Воспользовавшись уравнением (38.11), мы из (38.12) получаем

Коэффициент пропорциональности р называется модулем сдвига

(или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через Киог:

Кстати, модуль сдвига должен быть положитель­ ным, иначе мы бы могли получить энергию от само­ произвольного сдвига куби-

Ф и г . 38.7. Угол сдвига 0 равен 2AD/D.

104

на. Из уравнения (38.14) очевидно, что постоянная а должна быть больше — 1. Теперь мы знаем, что а заключена между — 1 и Ча, но на практике, однако, она всегда больше нуля. В качестве

последнего примера состояний подобного типа, когда напря­ женность постоянна по всему материалу, давайте рассмотрим за­ дачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен

таким образом, что боковое сокращение невозможно. (Техничес­ ки немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — это та же самая задача.) Что при этом происходит? На брусок должны действовать боковые силы, которые препятствуют изменению его толщины,— силы, которых мы не знаем непосредственно, но которые следует вычислить. Эта задача того же самого сорта, что мы решали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как это показано на фиг. 38.8. Мы вычислим изменение размеров и подберем такие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались постоянными. Следуя обычным рас­ суждениям, мы получаем для трех напряжений

Но поскольку по условию Му и Mz равны нулю, то уравне­ ния (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связывающие Fy и Fz с Fx. Совместно решая их, найдем

195