До
I T
2
Ф и г . 39.3. Однородная деформация сдвига.
Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при uvстоит обратный знак. При таком перемещении малень
кий кубик из желе претерпевает простой поворот на угол 0/2 (фиг. 39.4). Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто
вращение в пространстве. При этом никакого возмущения мате риала не происходит, а относительное положение всех атомов
совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы
чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если dujdx и dujdy
равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив
Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как н хотели, exy—evx.
В наиболее общем случае возмущения, который наряду со
сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем оп ределять состояние деформации заданием девяти чисел:
(39.7)
( диу , dUx\ \ дх Ч* ду )
Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, еху
211
До
f
Ф и г . «9Р.4. Однородный поворот*
Никаких деформаций нет.
всегда равно еух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то Сц= =AiBj — тензор.) А каждое наше ец есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора и=(ц*, ии, uz)
и оператора V = ^ , щ, который, как мы знаем, преобразу
ется подобно вектору. Давайте вместо х, у и г писать х*, х3, х3, а вместо их, иу и и. писать ии и, и и3; тогда общий вид элемента тензора ец будет выглядеть так:
(39.8)
где индексы i и / могут принимать значения 1, 2 или 3.
Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая мо жет включать как растяжения, так и сдвиги, то всее^ — постоян
ные, и мы можем написать |
|
ux=exxx+ exvy+exzz. |
(39.9) |
(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации ец дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты г= (х, у, г) и вектором пе ремещения и=(и*, иу, uz).
Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть
местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем |
|
A“, = SI ( e.y—“ //) Ах/, |
(39.10) |
|
|
где (ла — антисимметричный тензор |
|
|
(39.11) |
212
описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметрич ным тензором ец.
§ 2, Тензор упругости
Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны дефор мациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений Stj как /-ю
компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпен дикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента Sij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и I содержат по девяти компонент, то всего для
описания упругих свойств материала требуется 9X 9=81 воз можный коэффициент. Если материал однороден, то все эти ко эффициенты будут постоянными. Мы обозначим их Сг;ы, опреде лив посредством уравнения
(39.12)
где каждый значок /, /, k и / может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты Сци связывают один тензор
с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор чет вертого ранга. .Мы можем назвать его тензором упругости.
Предположим, что все С^ы известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравне ния (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряже ния и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.
Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна пере мещению х, скажем F—kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx42. Подобным же образом энергия до, запасенная в любой единице объема деформированного материала,
оказывается равной
(39.13)
Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела,
будет интегралом от до по всему его объему:
(39.14)
213
Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная
во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной.
Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о
некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяе мого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.
Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в Ctjki содержится не 81 различный параметр. Поскольку Бц и ei}— симметричные тензоры, каждый
из которых включает только шесть различных элементов, то Сцы состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же
их гораздо меньше.
Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:
w= -j{Cxxxxelx+ C.х х х у ^ х х ^ х у +СX X X Z ^ X X ^ X Z |
х х у х ^ х х ^ у х |
+ |
|
|
|
4“ С. |
|
4 " C x x y y ^ x jf iy y 4“ ' |
и т . Jk. + CvvvveL + ... и т . д ----- и т . д -------}, |
||
|
|
|
(39.15) |
т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл по вернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость отно сительно растяжения как в направлении оси у, так и в направ лении оси х. Следовательно, если мы переменим наши определе ния осей координат х и у в уравнении (39.15), то энергия не
должна измениться. Поэтому для кубического кристалла
СХххх~ Суууу — Czztl. |
(39.16) |
Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие Сххху,
должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свой ством, что он симметричен при отражении относительно любой
плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если
мы заменим у на — у, то ничего не должно измениться. Но из менение у на — у меняет еху на — еху, так как перемещение в
направлении +у будет теперь перемещением в направлении — у.
Чтобы энергия при этом не менялась, Сххх„ должно переходить в — Сххху. Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому Сххху должно быть таким оке, как и — Сххх„. Это может
произойти только тогда, когда оба они равны нулю.
2 И
Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом^ можно сделать и Суууу= 01» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игре
ка. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны
быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для ку бического кристалла не равны нулю только те С, у которых один
итот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для 2 .) Таким образом, выживают только компоненты типа Сххуу, Схуху, Схуух
ит. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у
инаоборот (или все г на х и т. д.), то для кубического кристалла
мы должны получить то же самое число. Это означает, что оста ются всего три различные ненулевые возможности:
Схххх ( = Суууу~ Сг1гг), |
|
Сххуу {~ Суухх~ СХХ1г~ И т. д.), |
(39.17) |
Схуху(= Сухух— Схгхх= И т. д.). |
|
Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:
W = Y { С х х х х ( е х х + е у у + eL) +
Ч" %Сххуу{еххвуу-(- evvexz |
&ггееХ1^ -J- |
+ 4CX1,*V(ely+ elz+ejx)}. |
(39.18) |
У изотропного, т. е. некристаллического, материала симмет рия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом
выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:
С Х Х Х Х ~ С х х у у + С х у х г |
(39.19) |
Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тен зор напряжений Stj должен быть связан с ei} способом, который
совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин.
«Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ полу чить Stj из e{J— умножить последнее на скалярную постоянную.
Получится как раз закон Гука: (Постоянная) Хб^». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить еди ничный тензор 6JJ, умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с et}. Единственный инвариант, который можно со
ставить и который линеен по е,— это (Он преобразуется
подобно ха+г/а+ г а, а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего 5 (/ с ец для
215