жем в направлении оси г. Классически объект с данным полным моментом количества движения J может в качестве 2-компоненты иметь любую величину между —1 и + / . Но в квантовой механике
2-компонента момента количества движения может принимать только определенные дискретные значения. Любая данная си стема, в частности атом или ядро или что-то другое, с заданной энергией имеет характерное число /, а ее г-компонента момента количества движения может принимать только одно из значений:
f c и — 1)&; ( / - 2 ) А ; - ( / - 2 ) А ; |
- Д . (34.23) |
Наибольшая величина г-компоненты равна произведению j на А, следующая на %меньше и т. д. до — /А. Число / называется
«спином системы». (Некоторые называют его «квантовым числом полного Момента количества движения», а мы будем называть его попросту «спином».)
Вас, вероятно, волнует, не будет ли все сказанное нами верно только для некоторой особой оси 2? Это не так. Для системы со спином j компонента момента количества движения по любой
оси может принимать только одно из значений (34.23). Хотя все это выглядит довольно невероятно, я еще раз прошу вас мне поверить. Позднее мы еще вернемся к этому пункту и обсудим его. Вам, наверно, будет приятно услышать, что 2-компонента
пробегает набор значений от некоторого числа до минус то оке самое число, так что нам, к счастью, не приходится гадать, какое
же направление оси г положительное. (Конечно, если бы я сказал,
что он пробегает значения от + / до минус какое-то другое число, это было бы крайне подозрительно, ибо тогда мы были бы лишены возможности направить ось г в другую сторону.)
Но если 2-компонента момента количества движения изме няется на целое число от + / д о —/, то не должно ли само / тоже быть целым числом? Нет) Не совсем так, целым должно быть удвоенное /, т. е. 2/. Иначе говоря, целым должна быть лишь разность между + / и —/. Таким образом, спин /, вообще говоря,
может быть либо целым, либо полуцелым в зависимости от того, будет ли 2j нечетным или четным. Возьмем, к примеру, ядро
типа лития, спин которого равен / = 3/ 8. При этом момент коли чества движения относительно оси г принимает в единицах А одно из следующих значений:
£
2*
Так что если ядро находится в пустом пространстве в отсутствие внешних полей, то у него имеются четыре возможных состояния, каждое с одной и той же энергией. Для системы со спином 2 г-компонента момента количества движения принимает в едини-
106
цах % только следую щ ие значения:
2; 1; 0; - 1 ; - 2 .
Если вы подсчитаете, сколько возможно состояний для данного спина /, то их получится (2/+1). Другими словами, если вы скажете мне, какова энергия системы и ее спин у, то число состоя ний с этой же энергией в точности будет равно (2/+1), причем каждое из них соответствует одной из различных величин г-
компоненты момента количества движения.
Мне хотелось бы прибавить еще один факт. Если вы случайно выберете некоторый атом с известным / и измерите его z-компо- ненту момента количества движения, то сможете получить ка
кое-то из возможных значений, причем каждое из них равно вероятно. Любое состояние может характеризоваться только
одним из возможных значений; но каждое из них столь же хорошо, как и любое другое. Каждое из них имеет в мире один и тот же вес (мы предполагаем, что никакой предварительной «сортировки» не было).
Кстати, этот факт имеет простой классический аналог. Пред ставьте, что тот же самый вопрос вас интересует с классической точки зрения: какова вероятность какого-то определенного зна чения z-компоненты момента количества движения, если из
набора систем, имеющих один и тот же момент количества дви жения, вы наугад выбрали одну? Ответ: любое из значений от
максимального до минимального равновероятно (в чем вы можете легко убедиться сами). Этот классический результат соответствует равной вероятности любой из (2/+1) возможностей в квантовой механике.
Из того, что у нас было до сих пор, можно получить другое интересное и в каком-то смысле удивительное заключение. В не
которых классических расчетах в окончательном результате поя влялась величина, равная квадрату момента количества движе
ния J, другими словами, J • J. И вот оказывается, что правильную квантовомеханическую формулу можно угадать с помощью клас
сических вычислений и следующего простого правила: замените на j(j+l)As. Этим правилом часто пользуются, и обычно оно дает верный результат, однако не всегда. Чтобы показать вам,
почему это правило может хорошо работать, я приведу следующее рассуждение.
Скалярное произведение J-J можно записать как
Поскольку это скаляр, то он должен оставаться одним и тем же для любой ориентации спина. Предположим, что мы случайно выбрали образец какой-либо атомнсй системы н произвели нзме-
107
рения либо величины Jx, либо Jy, либо J\ — среднее значение
любой из них должно быть тем же самым. (Ни одно из направлений не имеет особого преимущества перед любым другим.) Следова тельно, среднее значение J-J равно просто утроенной средней величине любой компоненты, скажем J%:
<J-J>cp = 3<J|>.
Но поскольку J-J при любой ориентации одно и то же, его среднее, разумеется, будет постоянной величиной
J - J = 3 <Jl>cp. |
(34.24) |
Если же мы теперь скажем, что то же самое уравнение будет использоваться н в квантовой механике, то можем легко найти </|>с_. Нам просто нужно взять сумму (2 /+ 1) возможных зна чении JI и поделить ее на число всех значений:
- |
;3-н/~1),+ ...+ ( - ;+ 1 )г+ (- / )1*, |
(34.25) |
<J2>cp " |
2 j + 1 |
Вот что получается для системы со спином 3/ а:
< Л > C f
Отсюда мы заключаем, что
J-J = 3<^>cp = 3 | ^ = | ( 4 + l ) ^ .
На вашу долю остается доказать, что соотношение (34.25) вместе с (34.24) дает в результате
J .J = / ( / + l)fa . |
(34.26) |
Хотя в рамках классической физики мы бы думали, что наиболь шее возможное значение 2-компоненты J равно просто абсолют
ной величине J, именно ]/J • J, в квантовой механике максимальное значение Jг всегда немного меньше его, ибо jh всегда меньше
V }(/+ \)%. Момент количества движения никогда не направлен
«полностью вдоль оси 2».
§ 8. Магнитная энергия атомов
Теперь я снова хочу поговорить о магнитном моменте. Я уже говорил, что в квантовой механике магнитный момент атомной системы может быть связан с моментом количества движения
ies
соотношением (34.6):
! * - - * ( & ) J- |
<34-27> |
где — qe — заряд, a m — масса электрона.
Атомные магнитики, будучи помещены во внешнее магнитное поле, приобретут дополнительную магнитную энергию, которая зависит от компоненты их магнитного момента в направлении
поля. Мы знаем, что |
|
|
*/„«■=- И В. |
(34.28) |
|
Выбирая ось г вдоль направления поля В, получаем |
|
|
£/«1Г = |
- М . |
(34.29) |
А используя уравнение (34.27), |
находим |
|
Согласно квантовой механике, величина Jг может принимать только такие значения: j%, (j— 1)Д,...,— /А. Поэтому магнитная
энергия атомной системы не произвольна, допустимы только неко торые ее значения. Например, максимальная величина энергии равна
Величину qjU2m обычно называют «магнетоном Бора» и обозна
чают через р.в:
Возможные значения магнитной энергии будут следующими:
Уилт= |
"jr I |
109
Ф и г . 34.6. Два возможных энерге тических состояния электрона в магнитном поле В.
где J J%принимает одно из следующих значений: j, (/— 1), (j—2),...
(—/’+ 1). —}■
Другими словами, энергия атомной системы, помещенной в магнитное поле, изменяется на величину, пропорциональную полю и компоненте Jz. Мы говорим, что энергия атомной магнит
ной системы «расщепляется магнитным полем на 2 /+ 1 уровня». Например, атомы со спином / = 3/ а, энергия которых вне магнит ного поля равна U0, в магнитном поле будут иметь четыре воз
можных значения энергии. Эти энергии можно изобразить на диаграмме энергетических уровней наподобие фиг. 34.5. Однако энергия каждого атома в данном поле В принимает только одно
из четырех возможных значений. Именно это говорит квантовая механика о поведении атомной системы в магнитном поле.
Простейшая «атомная» система — отдельный электрон. Спин электрона равен V2, поэтому у него возможны два состояния: JZ=%I2 и Jг= —fi/2. Для спинового магнитного момента отдель
ного покоящегося электрона (у которого отсутствует орбиталь ное движение) g=2, так что магнитная энергия будет ± р вВ.
На фиг. 34.6 показаны возможные энергии электрона в магнит ном поле. Грубо говоря, спин электрона направлен либо «вверх» (по магнитному полю), либо «вниз» (против поля).
У системы с более высоким спином число состояний тоже боль ше. Поэтому мы можем в зависимости от величины J z говорить о
спине, направленном «вверх» или «вниз» или под некоторым «углом».
Эти результаты квантовой механики мы будем использовать при обсуждении магнитных свойств материалов в следующей главе.