Такой же диамагнитный эффект будет наблюдаться даже у атомов с постоянным магнитным моментом. При этом система тоже будет прецессировать в магнитном поле. Во время прецес сии атома в целом он набирает небольшую дополнительную угловую скорость, а подобное медленное вращение приводит к маленькому току, который дает поправку к магнитному моменту. Это тот же диамагнитный эффект, но поданный по-другому. Однако на самом деле, когда мы говорим о парамагнетизме, нам не нужно заботиться об этой добавке. Если мы сначала подсчи тали диамагнитный эффект, как это было сделано здесь, нас не должен беспокоить небольшой дополнительный ток, происходя щий из-за прецессии. Он уже включен нами в диамагнитный член.
§ 5. Теорема Лармора
Теперь уже из наших результатов можно сделать кое-какие заключения. Прежде всего в классической теории момент р всегда пропорционален J, причем для каждого вида атомов со своей константой пропорциональности. В классической теории у электрона нет никакого спина и константа пропорциональности всегда равна — qe/2m, иначе говоря, мы должны в (34.6) поло
жить g = 1. Отношение ц к J не зависело от внутреннего движения электронов. Таким образом, в соответствии с классической тео рией все системы электронов должны были прецессировать с одной и той же угловой скоростью. (В квантовой механике это неверно.)
Этот результат связан с одной теоремой классической механики, которую мне бы хотелось сейчас доказать. Предположим, что имеется группа электронов, которые удерживаютсявместе притяжением к центральной точке, подобно электронам, притя гиваемым ядром. Эти электроны будут также взаимодействовать
друг с другом, и движение их, вообще говоря, довольно сложно. Пусть вы нашли их движение в отсутствие магнитного поля и хотите знать, каково будет движение в слабом магнитном поле.
Теорема утверждает, что движение в слабом магнитном поле всегда будет таким же, как и движение без поля с добавочным
вращением относительно оси поля с угловой скоростью о>£ = ==qeBI2m, (Это то же самое, что и а>р при g = 1.) Разумеется, воз
можных движений может быть много. Все дело в том, что каждому движению без магнитного поля соответствует движение в поле, которое состоит из первоначального движения плюс равномерное
вращение. Это и есть теорема Лармора, а частота о £ называется
ларморовой частотой.
Мне бы хотелось показать вам, как можно доказать эту тео рему, но детали доказательства я предоставлю вам самим. Возь мем сначала электрон в центральном силовом поле. На него про сто действует направленная к центру сила F(r). Если теперь
101
включить однородное магнитное поле, то появится дополнитель ная сила <7VXB, так что полная сила будет равна
F(r) + ? v x B . |
(34.18) |
Посмотрим теперь на те же самые электроны из системы коорди нат, вращающейся с угловой скоростью со относительно оси, проходящей через центр силы и параллельной полю В. Она уже не будет инерциальной системой, а посему нам нужно добавить надлежащие псевдосилы: центробежные силы и силы Кориолиса, о которых мы говорили в гл. 19 (вып. 2). Там мы обнаружили, что
в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью со, дейст вуют кажущиеся тангенциальные силы, пропорциональные vr —
радиальной компоненте скорости:
F, = —2mavr. |
(34.19) |
Кроме того, там действует кажущаяся радиальная сила
-\-2тти |
(34.20) |
где щ — тангенциальная компонента скорости, измеряемая во вращающейся системе отсчета. (Радиальная компонента vr одна
и та же как для вращающихся, так и для инерциальных систем.) Теперь для достаточно малых угловых скоростей (т. е. когда wr<$.vt) первым (центробежным) слагаемым в уравнении (34.20)
можно пренебречь по сравнению со вторым (кориолисовым). После этого уравнения (34.19) и (34.20) можно записать вместе как
F = — (2/лшх v). |
(34.21) |
Если же теперь скомбинировать вращение и магнитное поле, то
мы должны к силе (34.18) добавить силу (34.21). Полная сила получится такой:
F (r) + qvxb + 2mvx<o. |
(34.22) |
[В последнем слагаемом по сравнению с (34.21) мы переставили сомножители в векторном произведении и изменили знак.] Взгля нув теперь на полученный результат, мы видим, что если
2ты= — qB,
то последние два члена сократятся, и единственной силой в дви жущейся системе будет сила F (г). Движение электрона будет таким же, как и в отсутствие магнитного поля, но добавится, разумеется, вращение. Мы доказали теорему Лармора для одного электрона. Поскольку при доказательстве мы предполагали а малым, то это означает, что теорема верна только для слабых магнитных полей. Единственно, что я прошу вас рассмотреть самостоятельно,— это случай многих электронов, взанмодейст-
102
вующнх друг с другом в том же самом центральном поле. Дока жите теорему для такого случая. Таким образом, каким бы слож ным ни был атом, если его поле центральное,— теорема будет верна. Но это уже конец классической механики, ибо то, что система прецессирует таким образом, неверно. Частота прецес сии (й;1в уравнении (34.11) только тогда равна <о£, когда ^ = 1 .
§ 6. В классической физике нет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма
Сейчас я хочу показать вам, что в соответствии с классичес кой механикой не получается ни диамагнетизма, ни парамагне тизма. На первый взгляд это звучит дико — ведь только что мы доказали, что там есть и диамагнетизм, и парамагнетизм, и пре цессирующие орбиты и т. п., а теперь собираемся доказывать, что все это ложь. Увы, так оно и есть! Я собираюсь доказать,
что если достаточно долго следовать за классической механикой, то никаких магнитных эффектов не получится: они исчезнут все до единого. Если вы начнете с классических рассуждений, но
вовремя остановитесь, то получите желаемый результат. И только законные и последовательные доказательства показывают, что никаких магнитных эффектов нет.
Вот одно из следствий классической механики. Если у вас есть какая-то заключенная в ящик система, скажем электронный или протонный газ или что-то в этом роде, не способная вращать ся как нечто целое, то никакого магнитного эффекта возник нуть не может. Магнитный эффект может получиться лишь при наличии изолированной системы, удерживаемой от разлетания своими собственными силами подобно звезде, которая, будучи помещена в магнитное поле, может начать вращаться. Но если ваш кусок материала удерживается в одном положении и не может начать крутиться, то никакого магнитного эффекта не будет. Более точно мы понимаем под этим следующее: мы пред
полагаем, что при данной температуре существует только одно состояние теплового равновесия. Тогда теорема утверждает,
что если вы включите магнитное поле и выждете, пока система не придет в тепловое равновесие, то никакого наведенного маг
нитного эффекта не появится — ни диамагнетизма, ни парамаг нетизма. Доказательство: Согласно статистической механике,
вероятность того, что система имеет заданное состояние движе ния, пропорциональна е~и/кТ, где U — энергия этого движения.
Но что такое энергия движения? Для частиц в постоянном маг нитном поле она равна обычной потенциальной энергии плюс тоЧ2 без какой бы то ни было добавки от магнитного поля.
[Вы знаете, что сила, действующая со стороны электромагнитного поля, равна ^(E -bvxB ), а мощность F-v будет просто qE*v,
т. е. никакого влияния магнитного поля нет н в помине.] Итак, юз
энергия системы независимо от того, находится ли она в маг нитном поле или нет, всегда будет суммой только кинетической и потенциальной энергий. А поскольку вероятность любого дви жения зависит только от энергии, т. е. от скорости и положения, то для нее безразлично, включено ли магнитное поле или нет. Следовательно, на тепловое равновесие магнитное поле не ока
зывает никакого влияния. Если мы возьмем сначала одну си стему, заключенную в первом ящике, а затем другую — во вто ром ящике, но на этот раз в магнитном поле, то вероятность какого-то определенного значения скорости в некоторой точке в первом ящике будет той же самой, что и во втором. Если в первом ящике отсутствуют средние циркулирующие токи (которых не должно быть, если система находится в равновесии со стационар ными стенками), то там нет никакого магнитного момента. А по скольку все движения во втором ящике такие же, как и в первом, у него тоже нет никакого магнитного момента. Следовательно, если температура поддерживается постоянной, то после включе ния поля и восстановления теплового равновесия никакого на веденного магнитного момента в соответствии с классической механикой быть не должно. Удовлетворительное объяснение маг нитных явлений можно получить только в квантовой механике.
К сожалению, я не уверен в вашем полном понимании кван товой механики, поэтому обсуждать эти вопросы здесь вряд ли уместно. Но, с другой стороны, не всегда следует начинать изу чение чего-то с выписывания правил и применения их в различ ных обстоятельствах. Почти каждый предмет, с которым мы имели дело в нашем курсе, начинался по-разному. Для электро динамики, например, мы на первой же странице выписали урав нения Максвелла, а уж затем выводили из них все следствия. Это один способ. Однако сейчас я не собираюсь начать новую спервую страницу» выписыванием уравнений квантовой меха ники и получением следствий из них. Я просто расскажу вам о некоторых результатах квантовой механики до того еще, как вы узнали, откуда они берутся. Итак, за дело.
§7. Момент количества движения
вквантовой механике
Яуже приводил вам соотношение между магнитным моментом и моментом количества движения. Очень хорошо. Но что означает
магнитный момент и момент количества движения в квантовой механике? Оказывается, что для полной уверенности в том, что они означают в квантовой механике, лучше определять вещи, подобные магнитному моменту, через другие понятия, такие, как энергия. Магнитный момент легко определить через энергию, ибо энергия магнитного момента в магнитном поле равна в классической теории — ц* В. Следовательно, в квантовой меха
104
нике необходимо принять следующее определение. Если мы вы числяем энергию системы в магнитном поле и видим, что она пропорциональна напряженности (для малых полей), то коэф фициент пропорциональности мы будем называть магнитным моментом в направлении поля. (Нам сейчас в нашей работе не требуется особой элегантности и мы можем продолжать думать о магнитном моменте в обычном, т. е. в каком-то отношении клас сическом смысле.)
Теперь мне бы хотелось обсудить понятие момента количества движения в квантовой механике, или, вернее, характеристики того, что в квантовой механике называется моментом количества движения. Видите ли, при переходе к законам нового рода нельзя предполагать, что каждое слово будет в точности означать то же, что и раньше. Подумав, вы можете сказать: «Постойте, а ведь я знаю, что такое момент количества движения. Это штука, которую измеряет момент силы». Но что такое момент силы? В квантовой механике у нас должно быть новое определение старых величин. Поэтому законно было бы назвать ее каким-то другим именем, вроде «углоквантового момента», или чем-то в этом духе, и уж это был бы момент количества движения «по-квантовомеханически». Однако если в квантовой механике мы можем найти величину, которая, когда система становится достаточно большой, идентич на нашему старому понятию момента количества движения, то никакой пользы от изобретения новых слов нет. Ее тоже можно называть моментом количества движения. В этом понимании та странная вещь, которую мы собираемся описать, и есть момент количества движения. Это характеристика, в которой мы для больших систем узнаем момент количества движения классичес кой механики.
Прежде всего возьмем систему с сохраняющимся моментом количества движения наподобие атома в пустом пространстве. Такая система (подобно Земле, вращающейся вокруг собствен ной оси) может крутиться вокруг любой оси, какую бы нам ни вздумалось выбрать. Для данной величины спина возможно много различных «состояний» с одной и той же энергией, при чем каждое из них соответствует какому-то направлению оси момента количества движения. Таким образом, в классической механике с данным моментом количества движения связано бес конечное число возможных состояний с одной и той же энергией.
Однако в квантовой механике, как оказывается, происходит
несколько странных вещей. Во-первых, число состояний, в кото рых может находиться такая система, ограниченно — их можно
перечислить. Для маленькой системы это число довольно мало, но если система велика, конечное число становится очень и очень большим. Во-первых, мы не можем описывать «состояния» заданием направления момента количества движения, а можем только задавать его компоненту в некотором направлении, ска
105