Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле:

.

Равенство нулю смешанного произведения означает, что векторы компланарны.

Пример 4.7. Даны вершины тетраэдра: (0, -2, 5),

(6, 6, 0), (3, -3, 6), (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущеной из вершины .

Решение. Найдем сначала объем тетраэдра . По формуле получаем:

Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно, .

Искомую величину h определим из формулы , где S – площадь основания. Определим площадь S:

где

Поскольку

то

Подставляя в формулу значения и , получим h=3.

Пример 4.8. Образуют ли векторы базис в пространстве ? Разложить вектор по базису векторов .

Решение. Три вектора в пространстве R₃ могут образовать базис, если они не лежат в одной плоскости, т.е. некомпланарны.

Найдем смешанное произведение векторов :

,

следовательно векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Если векторы образуют базис в пространстве, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов , а именно ,где координаты вектора в базисе векторов . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений

.

Решая ее методом Гаусса, имеем

Отсюда .

Тогда .

Таким образом, .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором и модулем вектора?

2. Какие векторы называют коллинеарными, компланарными, равными?

3. Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть неравными? Если да, то чем они отличаются друг от друга?

4. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?

5. Что называется базисом на плоскости, в пространстве?

6. В каком случае векторы называются линейно зависимыми, а в каком линейно независимыми?

7. Как определяется декартова система координат?

8. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

9. Приведите формулы деления отрезка в данном отношении?

10. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

11. Каковы формулы длины вектора, угла между двумя векторами, расстояния между двумя точками в декартовой системе координат?

12. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

13. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

14. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, и углы между ними: , .

Ответ. .

2. Найти внутренние углы треугольника с вершинами A(5,2,-4), B(9,-8,-3), C(16,-6,-11).

Ответ. ; .

3. Найти проекцию вектора на ось вектора .

Ответ. 4.

4. Найти векторное произведение векторов и

Ответ.

5. Упростить выражение: .

Ответ. .

6. Векторы связаны соотношениями . Доказать, что векторы и коллинеарны.

7. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ. 43.

8. Показать,что векторы компланарны.

9. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A (5, 2, 2), B(-8, -2, 5), C(6, 3, 0), D(9, 3,2).

Ответ: 0,5.

5. Плоскость в пространстве

5.1. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система , то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z определяет относительно этой системы плоскость.

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0 (5.1)

с произвольными коэффициентами А, В, С, D такими, что из коэффициентов А, В, С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Пусть уравнение (5.1) имеет хотя бы одно решение х₀,у₀,z₀, т.е. существует точка М₀(х₀,у₀,z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению Ах₀ +Ву₀ +Сz₀ +D = 0.

Вычитая это уравнение из (5.1), получим

А(х – х₀) + В(у –у₀) +С(z – z₀) = 0 . (5.2)

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через (х₀,у₀,z₀) перпендикулярно .

5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде

Зададим вектор в прямоугольной системе координат, имеет начало в точке О. Через проведем плоскость перпендикулярную к . Произвольную точку плоскости обозначим Q (х, у, z); - радиус – вектор, соответствующий точке Q.

Пусть р = | | - длина вектора , - единичный вектор направленный в ту же сторону, что и вектор .

= (cosa, cosb, cosg), где a,b,g - углы, образуемые вектором с положительным направлением осей х, у, z.

П роекция любой точки Q Î p на вектор , есть величина постоянная, равная р:

( , ) = р (р ³ 0) (5.3)

– уравнение плоскости в векторной форме.

В координатах (5.3) записывается:

хcosa +уcosb +zcosg = , ( ³ 0) (5.4)

– уравнение плоскости в нормальном виде, где – длина перпендикуляра из центра координат на плоcкость.

Произвольное уравнение в общем виде (5.1) можно привести к нормальному виду, умножив его на число

t = ± 1/ , где знак берется противоположным знаку .

Тогда

Здесь вектор = единичный ê ê= 1, его проекции на оси координат равны ; .

Таким образом xcosa + уcosb + zcosg = р , (р ³ 0) , т.е. получим уравнение плоскости в нормальном виде.

Из этого уравнения мы можем узнать расположение плоскости относительно системы координат.

Точка М(х, у,z) лежит на плоскости, тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (5.4).