Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

В.В. Горбунов Г.С. Розаренов О.А. Соколова

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Воронеж 2002

УДК 517.2

Горбунов В.В., Розаренов Г.С., Соколова О.А. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебное пособие / Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2002. 132 с.

В учебном пособии излагаются элементы высшей математики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержаться вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Издание предназначено для студентов-заочников, обучающихся по специальности 220300 «Системы автоматизированного проектирования», изучающих дисциплину «Математика».

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе

в текстовом редакторе MS WORD 2000 и содержится в файле

“ЛинАлг.doc”

Ил. 34 . Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математики, информ. технологий

и естественных дисциплин Воронежского

института экономики и права (зав. кафедрой

к.т.н., доцент Павлов И.О.);

д-р физ.мат.-наук В.А. Родин

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета.

• Гобунов В.В., Розаренов Г.С., Соколова О.А., 2002

• Оформление. Воронежский

государственный технический университет, 2002

Введение

_{Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.}

_{Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.}

_{Пособие рекомендовано студентам-заочникам в помощь к изучению курса высшей математики.}

1. Матрицы и операции над ними

1. . Понятие матрицы

Определение . Прямоугольная таблица чисел вида

А = (1.1)

называется матрицей.

Здесь - действительные числа(i =1, 2, …, m, j =1,2, …,n), называемые элементами матрицы, i и j – соответственно индексы строки и столбца. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Часто матрицу (1.1) записывают в сокращенном виде

А= , i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n. (1.2)

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. В том случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов)

А = , (1.3)

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю

А = .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

Е = (1.4)

Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .

1.2. Линейные операции над матрицами

1.2.1. Сумма матриц

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= , В = ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С= , i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Свойства операции суммирования матриц

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Тогда:

1. А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 1.1. Пусть даны матрицы А и В:

А = , В =

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

С = , С= .

1.2.2. Умножение матрицы на действительное число

Произведением матрицы А на число называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на :

Обозначение:

В= А.

Свойства произведения матрицы на число

Пусть А, В, С – матрицы,имеющие одинаковый размер, а и - некоторые вещественные числа. Тогда:

1.

2.

3.

4. ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 1.2. Пусть даны матрица А и число :

А = , =2.

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

С = .

1.2.3. Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).

Пусть дана исходная матрица А

А = .

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А^Т имеет вид

А^Т = . (1.5)

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

А= , А^Т = ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Отметим две закономерности операции транспонирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

.

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы – квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. . Транспониравание таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической матрицы.

Пример 1.3. Пусть даны матицы А и В

А = , В = .

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

А^Т = , В^Т= .

1.3. Умножение матриц

Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

. (1.6)

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (1.6).

Пример 1.4. Найти произведения АВ и ВА матриц

А = , В =

Решение. По формуле (1.6) получаем элементы

матрицы АВ:

Итак,

АВ = .

По формуле (1.6) получаем элементы матрицы ВА: