Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

которое после деления на свободный член приобретет вид уравнения эллипса с полуосями =1/2, =3/4.

Если кривая второго порядка не является центральной, т.е. дискриминант =0, упрощение уравнения рекомендуется начинать с поворота системы координат указанным выше способом, после чего с помощью параллельного переноса системы координат производится дальнейшее упрощение вида уравнения. В качестве примера нецентральной кривой второго порядка можно указать параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется центром линии второго порядка?

2. Каково условие наличия центра у кривой второго порядка?

3. Из какого условия получается уравнение для нахождения угла поворота системы координат?

4. Является ли гипербола нецентральной кривой второго порядка?

5. Какую кривую можно привести в качестве примера нецентральной кривой второго порядка?

Задачи для самостоятельного решения

1. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

2. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

3. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

11. Полярные координаты

Полярная система координат задается точкой О, которая называется полюсом, лучем Ор, называемым полярной осью. С лучем Ор связан единичный вектор того же направления. Возьмем произвольную точку М на плоскости. Положение этой точки задается двумя числами, называемыми полярными координатами: расстоянием от полюса О до точки М и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью, при этом отсчет угла ведется от полярной оси против часовой стрелки.

Число называется полярным радиусом и может меняться на промежутке [ 0, ). Угол называется полярным углом и принимает значения на промежутке [0,2 ).

Для установления связи между прямоугольными и полярными координатами совместим полюс О с началом координат системы хОу , а полярную ось – с положительной полуосью Ох. Пусть х и у будут прямоугольными координатами точки М, а и - ее полярными координатами.

Из рисунка видно, что прямоугольные координаты точки М с вязаны с полярными координатами следующим образом:

(11.1)

Полярные координаты точки М выражаются через декартовы координаты формулами:

(11.2)

Пример 11.1. Записать в декартовых координатах уравнение линии , заданной в полярной системе координат, определить ее тип и сделать чертеж.

Решение. Воспользуемся формулами связи декартовых и полярных координат (11.1)

, , .

Получим

или .

Возведение в квадрат обеих частей дает равенство

.

Выделяя полный квадрат, имеем

.

Разделив обе части уравнения на , получаем каноническое уравнение гиперболы, смещенной по оси Ох на влево.

.

Вопросы для самопроверки

1. Как образуется система полярных координат?

2. В каких пределах меняются полярный радиус и полярный угол?

3. Какими соотношениями связаны декартовы прямоугольные координаты и полярные координаты произвольной точки?

Задачи для самостоятельного решения

1. Записать в декартовых координатах уравнение линии .

Ответ.

2. Записать в полярных координатах уравнение линии

Ответ.

3. Записать в полярных координатах уравнение лемнискаты и указать, в каких пределах изменяется полярный угол в уравнении кривой.

Ответ.

Библиографический список

1. _{Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометриии линейной алгебры. М.: Наука,1980.}

2. _{Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука,1975}

3. _{Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука,1972.}

4. _{Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука,1980.}

5. _{Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1.}

6. _{Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука,1975.}

Оглавление

Введение …………………………………………………………3

1. Матрицы и операции над ними…………………………….4

1.1. Понятие матрицы……………………………………...4

1.2. Линейные операции над матрицами…………………5

1.2.1. Сумма матриц…………………………………5

1.2.2. Умножение матриц на действительное число………………………………………………………………….6

1.2.3. Транспонирование матриц…………………...7

1.3. Умножение матриц……………………………………9

0. Свойства произведения матриц…………………….11

2. Определители……………………………………………….14

2.1. Операции над определителями……………………...14

2.2. Основные свойства определителя…………………..16

2.3. Ранг матрицы…………………………………………19

2.4. Вычисление обратной матрицы…………………….22

3. Системы линейных алгебраических уравнений………..26

1. Общий вид и свойства системы уравнений………..26

2. Матричная форма системы уравнений……………..27

3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера……..28

4. Метод Гаусса…………………………………………32

4. Векторная алгебра………………………………………….39

4.1. Понятие вектора…………………………………...…39

4.2. Линейные операции над векторами………………...40

4.2.1. Операция сложения векторов……………….40

4.2.2. Операция вычитания векторов (частный случай сложения)………………………………..42

4.2.3. Операция умножения вектора на вещественное число……………………………………..43

4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве……………44

4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства…….45

4.5. Декартова прямоугольная система координат……..48

4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении…..50

4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное………………………………………………..…….51

4.7.1. Скалярное произведение………………………51

4.7.2. Векторное произведение векторов……………54

4.7.3. Смешанное произведение трех векторов……..58

5. Плоскость в пространстве…………………………………67

5.1. Общее уравнение плоскости………………………...67

5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде……….…68

5.3. Уравнение плоскости в отрезках…………………....70

5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки…………………………………………………………………70

5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей…………..71

6. Прямая на плоскости……………………………………….76

6.1. Общее уравнение……………………………………..76

6.2. Каноническое уравнение прямой…………………...78

6.3. Параметрическое уравнение прямой………………..80

6.4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом……..81

6.5. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых…………………..82

6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями……….82

6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями.82

6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом………………………………………83

7. Прямая в пространстве…………………………………….85

7.1. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве……………………………………………....85

7.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки…………………………………………………...87

7.3. Параметрические уравнения прямой в пространстве……………………………………………………….88

7.4. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой………………….………89