Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Аналогично, и для эллипса, отличного от окружности и для гиперболы: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы

Пусть с – половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а – большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина

(8.9)

Учитывая, что для эллипса , Þ ,

для гиперболы , , имеем

(8.10)

для эллипса;

(8.11)

для гиперболы .

Таким образом, эксцентриситет эллипса меньше 1, а гиперболы больше 1. Эксцентриситет окружности равен 0 (т.к. = а).

При одинаковых эксцентриситетах два эллипса или две гиперболы подобны.

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости».

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между её

а симптотами.

8.5. Директрисы эллипса, гиперболы

8.5.1. Директрисы эллипса

Пусть дан эллипс: F₁ и F₂ фокусы, - эксцентриситет. Малая ось эллипса делит плоскость на две p₁ и p_{2 ,} а – большая полуось.

Определение: Директрисой (i = 1,2) эллипса, отвечающей фокусу F_i (i =1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости p_i (i =1, 2), перпендикулярной большой оси эллипса, на расстоянии от его центра.

З амечание 1. Уравнение директрисы можно записать в виде

D₁ : х = (8.12)

D₂ : х =

Замечание 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса, поскольку эллипс находится в прямоугольнике.êх ê£ а; , а директрисы на расстоянии

> а (0< < 1).

Замечание 3. Точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой его директрис.

Замечание 4. Обозначим через р – расстояние от фокуса до соответствующей ему директрисы.

Так как расстояние от центра до директрисы равно , а от центра до фокуса с, то р = , а так как с = а , то

р = а (8.13)

- расстояние от фокуса до соответствующей ему директрисы.

Теорема. Отношение расстояния r_i от точки М эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету этого эллипса.

8.5.2. Директрисы гиперболы

Определение. Директрисой (i = 1, 2) гиперболы, отвечающей фокусу F_i (i = 1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости p_i (i=1, 2), перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от её центра.

Замечание 1. Уравнения директрис имеют вид

: х = - ,

: х = .

Замечание 2. Директрисы целиком расположены в области, не содержащей точек гиперболы.

Для точек директрис

êх ê= < а, так как > 1.

р = а ( - ) = а .(8.14)

- расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей ему директрисы.

Теорема. Расстояние r_i от точки М гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету этой гиперболы.

Используя всe вышесказанное, можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Геометрическое место точек М плоскости p, для которых отношение расстояния r до точки F этой плоскости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоскости p, есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при 0< <1), либо параболу (при =1), либо гиперболу (при > 1). Точка F называется фокусом, прямая D– директрисой, - эксцентриситетом геометрического места точек .

Пример 8.1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем или

Вводя новые координаты , после деления на 18, получаем или .

Т аким образом получено уравнение окружности с центром в точке .

Пример 8.2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем .

Таким образом получено уравнение эллипса с центром в точке .

П ример 8.3. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем - уравнение гиперболы, для которой действительной осью является ось , а центр расположен в точке .

Пример 8.4. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полный квадрат , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем

- уравнение параболы, вершина которой в точке .

Вопросы для самопроверки

1. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?

2. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?

3. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы, параболы?

4. Что называется асимптотами гиперболы?

5. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя переменными?

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить линии, определяемые уравнениями:

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

Ответы:

1) ,

2) ,