Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Поскольку угол j между прямой и плоскость p является дополнительным к углу между вектором нормали плоскости и направляющим вектором прямой , то ( , )= ; cosy = cos(90⁰ - j) = sinj, то

(7.9)

- угол между прямой и плоскостью.

Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости

Аl +Bm +Cn = 0 (7.10)

- условие параллельности прямой и плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности и

(7.11)

- условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример 7.6. При каком значении и прямая

и плоскость перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности прямой и плоскости (7.11). Тогда . Получаем

Пример 7.7. При каком значении n прямая

параллельна плоскости .

Решение. Обращаемся к условию параллельности прямой и плоскости (7.10). Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим или откуда

7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости

Условие принадлежности прямой

к плоскости выражается двумя равенствами

, (7.12)

первое из которых означает, что точка (x₁,y₁,z₁), через которую проходит прямая , принадлежит плоскости, а второе-

это условие параллельности прямой и плоскости.

Координаты точки пересечения прямой

и плоскости Ax+By+Cz+D=0

определяются из системы уравнений

_{. (7.13)}

Пример7.8. Доказать, что прямая лежит в плоскости 3x+2y-4z-23=0.

Решение. Воспользуемся формулой (7.12)

.

Следовательно прямая лежит в данной плоскости .

Пример 7.9. Найти точку пересечения плоскости и прямой

Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для в уравнение плоскости

После упрощения получим откуда Из уравнения прямой при находим координаты точки пересечения Таким образом, искомой точкой пересечения является точка

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?

2. Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?

3. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

4. Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве, между плоскостью и прямой?

5. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве, прямой и плоскости?

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти угол между прямой и плоскостью .

Ответ. .

2. При каком значении прямая параллельна плоскости .

Ответ. .

3. При каких значениях B и D прямая лежит в плоскости ?

Ответ. B=2 и D=8.

4. При каких значениях и прямая перпендикулярна плоскости ?

Ответ. .

5. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых в пространстве:

1) и

2) и

3) и

4) и

Ответ. 1) совпадают; 2) параллельны; 3) скрещиваются; 4) пересекаются.

6. Составить параметрические уравнения прямой:

Ответ.

7. Написать параметрические уравнения прямой, проведенной через начало координат перпендикулярно плоскости

Ответ.

8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола

В прямоугольной системе координат, в плоскости Oxy уравнение второй степени

Ах² + 2Вху +Су² +2Dх + 2Еу +F = 0 (8.1)

определяет кривую второго порядка, где А, В, С, D, E, F заданные действительные числа. При этом А,В,С одновременно не равны нулю.

Общее уравнение (8.1) с помощью преобразований прямоугольной системы координат приводится к одному из канонических уравнений:

( >0)- (8.2)

- каноническое уравнение эллипса с полуосями длины а и b.

Частный случай ( ):

, (8.3)

- каноническое уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат.

В случае – уравнение определяет точку.

,( >0) (8.4)

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями а и b.

, (8.5)