Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

- общее уравнение прямой в пространстве.

Однако более удобным для решения задач является канонический вид уравнений прямой.

Пусть прямая проходит через данную точку (х₁, у₁,z₁) и имеет заданный направляющий вектор . Точка (х, у, z) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы = и коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны

(7.2)

- канонические уравнения прямой в пространстве, где хотя бы одно из чисел l,m, n ¹ 0.

Прямую, заданную общими уравнениями можно привести к каноническому виду. Для этого необходимо найти координаты точки , лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой. Общее уравнение прямой (7.1) представляет систему двух уравнений с тремя неизвестными, решением которой является множество точек (множество решений), лежащих на прямой, из которых нам необходимо выбрать одну. Для этого положим и найдем координаты и , решая систему уравнений

.

Для нахождения координат l, m, n вектора , заметим, что ортогонален каждому из нормальных векторов плоскостей = и = . Так что можно положить = . Тогда

;

l = b₁c₂ – b₂c₁; m = C₁A₂ – C₂A₁; n = A₁B₂ – A₂B₁.

Пример 7.1. Привести общее уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем координаты точки, через которую проходит прямая. Положим , тогда

, отсюда .

Найдем координаты направляющего вектора прямой.

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

или .

7.2. Уравнение прямой, проходящей через две

заданные точки

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М₁(х₁, y₁, z₁) и М₂(х₂, y₂, z₂) имеет вид

, (7.3)

где направляющий вектор = .

Пример 7.2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (1,-2,1) и (3,1,-1)

Решение. Применяя формулу (7.3), имеем

. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид .

7.3. Параметрические уравнения прямой

в пространстве

Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (7.2).

Приравняем параметру каждое из соотношений (7.2),

,

следовательно x– х₁ =lt; y – y1= mt; z - z₁= nt,

x =x₁ +lt,

y = y₁ +mt, (7.4)

z = z₁ + nt

- параметрические уравнения прямой.

Пример 7.3. Составить параметрические уравнения прямой

Решение. Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положим .Тогда система уравнений примет вид

Решая эту систему, получим .

Следовательно на прямой фиксирована точка .

Найдем координаты направляющего вектора прямой

Тогда параметрические уравнения прямой примут вид

7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Определение угла между прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами ; .

Из определения скалярного произведения имеем:

(7.5)

- угол между прямыми в пространстве.

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их направляющих векторов и :

(7.6)

- условие параллельности прямых в пространстве.

Условие перпендикулярности прямых: ( , ) = 0:

l₁l₂ + m₁m₂ +n₁n₂ = 0 (7.7)

- условие перпендикулярности прямых в пространстве.

Пример 7.4 . Найти угол между прямой и прямой, проходящей через две точки .

Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой . Для второй прямой направляющим является вектор . Угол между направляющими векторами вычислим, используя формулу (7.5),

.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

(7.8)

Пример 7.5. Найти расстояние от точки до прямой

Решение. Воспользуемся формулой (7.8). Так как то

Итак, расстояние равно 10.

7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Две прямые в пространстве могут:

1. пересекаться;

2. быть параллельными;

3. скрещиваться.

В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:

; .

Для принадлежности двух прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

, ( и точки на прямых и ), были компланарны, т.е. смешанное произведение этих векторов равно нулю.

_(7.8)

- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пример 7.5. Доказать, что прямые

пересекаются.

Решение. Применим формулу (7.8).

=-104 – 6 + 110 = 0.

Таким образом прямые лежат в одной плоскости. А так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны, следовательно прямые не параллельны, а пересекаются. Что и требовалось доказать.

7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Р ассмотрим плоскость p, заданную уравнением и прямую , заданную каноническими уравнениями: