Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Далее, используя уравнение плоскости,проходящей через данную точку М(3;-1;-5) перпендикулярно вектору , получаем , или .

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в отрезках?

2. Как записывается уравнение плоскости в нормальном виде?

3. Как вычисляется расстояние от точки до плоскости, отклонение точки от плоскости?

4. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

5. Как вычисляется угол между двумя плоскостями?

6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить, лежат ли точка М (1;1;-9) и начало координат по одну или по разные стороны от плоскости

Ответ. Точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.

2. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку К (1;5;2) параллельно плоскости, проходящей через три точки L (4;-3;1), M (3;4;0), N (-1;-1;5).

Ответ. .

3. Найти угол между двумя плоскостями и .

Ответ. .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;5) и перпендикулярной вектору .

Ответ. .

5. Найти уравнение плоскости,проходящей через начало координат и через точки P (4;-2;1) и Q (2;4;-3).

Ответ. .

6. Найти расстояние от точки М (1;3;-2) до плоскости .Как расположена точка М относительно плоскости?

Ответ. d = , начало координат и точка М лежат по разные стороны от плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (5;4;3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Ответ. .

8.Уравнение плоскости привести к нормальному виду.

Ответ. .

6. Прямая на плоскости

6.1. Общее уравнение

В плоскости зададим прямоугольную систему координат и прямую , не параллельную оси . Если на плоскости фиксирована произвольная декартова прямоугольная система , то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяют относительно этой системы прямую линию:

Ах + Ву + С = 0 (6.1)

- общее уравнение прямой, где произвольные постояные, причем из постоянных и хотя бы одна отлична от нуля.

Эта прямая ортогональна вектору = – нормальному вектору прямой.

В самом деле уравнение (6.1) имеет хотя бы одно решение х₀, у₀, т. е существует точка (х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):

Ах₀ + Ву₀ +С = 0.

Вычитая это уравнение из (6.1), получим

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 (6.2)

– уравнение прямой, проходящей через точку.

Это уравнение определяет прямую, проходящую через точку (х₀,у₀) и перпендикулярную вектору = . Если точка (х, у) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6.2), так как вектор и = ортогональны и их скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Если два общих уравнения и определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны .

Общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 называется полным, если все коэффициенты ¹ 0. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным.

Например.

С = 0: Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат.

В = 0: Ах + С = 0 – прямая, перпендикулярная оси х

( = перпендикулярен оси у).

В = 0; С = 0: Ах = 0 – ось у (прямая совпадает с осью у).

Полное уравнение прямой может быть приведено к виду:

, (6.3)

– уравнение прямой в отрезках, где = - ; = - .

Числа и равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях и у от начала координат, соответственно. Это уравнение удобно для построения прямой на чертеже.

Расстояние d от произвольной точки М₀ (x₀;y₀) до прямой (6.1) определяется формулой

Пример 6.1. Даны вершины треугольника Составить уравение высоты AD.

Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор является вектором нормали для прямой . Тогда обшее уравнение прямой имеет вид

или

6.2. Каноническое уравнение прямой

Введем понятие направляющего вектора прямой, это любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой

= .

Очевидно, что точка ( , ) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы = и

= коллинеарны, т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

(6.4)

– каноническое уравнение прямой.

Отношение следует понимать как ,

т. е. если l = 0, а m ¹ 0, то х – х₁ = 0.

Отсюда уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁, у₁), (х₂,у₂):

. (6.5)

Пример 6.2. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника, вершинами которого являются точки

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.9), найдем координаты точки Е.

Зная координаты точки и координаты вершины , составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки

.

Тогда или - каноническое уравнение медианы АЕ.

Пример 6.3. Даны вершины треугольника: Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что .

Но ,