Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Вектор перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором плоскости.

Если = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Уравнение (5.1) – полное уравнение. Если один из коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение. Например, уравнение Ах +Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оz, вектор , (перпендикулярную плоскости ).

Если же точка не лежит на плоскости, то

хcosa +уcosb +zcosg - р = d

- это есть отклонение точки М от плоскости.

Отклонение d - есть число (+ ), где

(5.5)

– расстояние от точки до плоскости, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и , если и лежат по одну сторону от плоскости. Для нахождения отклонения точки (х₀, у₀, z₀) от плоскости следует подставить в уравнение (5.4) координаты этой точки.

Расстояние от точки до плоскости равно .

5.3. Уравнение плоскости в отрезках

Если ¹ 0, то уравнение (5.1) можно записать

(5.6)

- уравнение плоскости в отрезках,

где .

Эта плоскость пересекает ось в точке ( , 0, 0), – в точке (0, , 0), ось – в точке (0, 0, ). Исходя из этого, легко определить расположение плоскости относительно системы координат.

5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки (х₁, у₁, z₁), ₍х₂, у₂, z₂),

5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁z +D₁ = 0, А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между их нормальными векторами .

Тогда, используя формулу для косинуса угла между векторами, имеем

(5.8)

- угол между двумя плоскостями.

Условие параллельности плоскостей эквивалентно условию коллинеарности векторов и имеет вид :

(5.9)

и заключается в пропорциональности координат этих вектров. Если , то плоскости совпадют.

Условие перпендикулярности плоскостей вытекает из формулы (5.8), когда cosj = 0 или ( , ) = 0, т.е.

. (5.10)

Пример 5.1. Составить уравнение плоскости,проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна вектору , то он является вектором нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (5.2), для плоскости, проходящей через заданную точку, получаем . Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем искомое уравнение плоскости 4x-5y+7z=0.

(х₃, у₃, z₃), не лежащие на одной прямой.

Определим уравнение плоскости (причем единственной), проходящей через эти три точки.

Так как три точки не лежат на одной прямой, то векторы

= (х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂– z₁), = (х₃ – х₁, у₃ – у₁, z₃ – z₁) не коллинеарны. Тогда точка лежит в одной плоскости с точками тогда и только тогда, когда векторы , и = компланарны, то есть только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю,

(5.7)

- это уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пример 5.2. Дан тетраэдр с вершинами . Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки до плоскости, проходящей через точки Составим уравнение этой плоскости:

.

Раскрывая определитель по первой строке, получаем . Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем .

По формуле (5.5) находим расстояние от точки до плоскости:

.

Пример 5.3. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Решение. Переписав уравнение в виде ,

и, разделив обе части его на 4, получим

или .

Получили уравнение плоскости в отрезках, откуда - отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат , соответственно.

Пример 5.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям и .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, то ее вектор нормали также перпендикулярен нормальным векторам и . Следовательно,