Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С
Следовательно,
Так как известно
отношение, в котором точка D
делит отрезок ВС , то координаты
точки D определятся
по формулам
,или
,
т.е.
.
Задача сводится к составлению уравнения
прямой, проходящей через точки А и
D :
,
т.е.
6.3. Параметрическое уравнение прямой
Примем за параметр
величину
=
t, тогда область
определения t: -¥
< t
< ¥.
Мы получим х – х1 = lt,
у – у1 = mt.
Таким образом
х
=
(6.6)
у =
- параметрические уравнения прямой.
6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у
Т
ангенс
угла наклона прямой к оси
назовем угловым коэффициентом
этой прямой:
.
Для прямой, параллельной оси
k = 0, для прямой, перпендикулярной оси , k не существует. Если прямая не параллельна оси и имеет направляющий вектор = , то угловой коэффициент этой прямой k:
(6.7)
(т. е.
=
;
,
а
или
).
Умножив обе части
канонического уравнения
на m, получим:
у – у1 = k(х – х1) (6.8)
- уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1, у1) и имеющей заданный угловой коэффициент k.
Если обозначить постоянную у1 – kx1 = b, то (6.8) примет вид
у = kx + b (6.9)
- уравнение прямой с угловым коэффициентом.
6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
Пусть две прямые
и
заданы общими уравнениями А1х
+ В1у + С1 = 0
и А2х + В2у
+ С2 = 0 .
Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами
=
и
=
.
Из определения
скалярного произведения (
)
имеем
(6.10)
- угол между прямыми.
Условие параллельности эквивалентно условию коллинеарности векторов и :
. (6.11)
Так как cosj
= 0, при
,
то условие перпендикулярности:
.
(6.12)
6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
Пусть L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
,
,
где
направляющие векторы
= {l1, m1}
и
= {l2, m2},
тогда
cos
=
,
(6.13)
=
, (6.14)
+
= 0 (6.15)
- угол между прямыми, условие параллельности, перпендикулярности прямых, соответственно.
6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
П
усть
и
заданы уравнениями с угловым
коэффициентом у = k1х+
b1 и у = k2x
+ b2;
и
-
углы наклона прямых. Тогда
=
-
- угол между прямыми.
(6.16)
- угол между прямыми.
Прямые параллельны,
если
= 0, т.е.
(6.17)
– условие параллельности.
Условие перпендикулярности
– это условие того, что tgj
не существует, т.е. 1 +
= 0, отсюда
(6.18)
- условие перпендикулярности.
Вопросы для самопроверки
Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?
Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?
Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?
Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?
Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны вершины
треугольника АВ С :
Определить внутренний угол при вершине
А.
Ответ.
.
2. Даны стороны
треугольника:
,
.
Составить уравнения его высот.
Ответ.
.
3. Даны вершины
треугольника
Составить уравнения медианы, проведенной
из вершины В ,и высоты, опущенной из
вершины С . Вычислить площадь
треугольника.
Ответ.
,
,
кв.ед.
7. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
7.1. Общее и канонические уравнения прямой
в пространстве
Прямую линию, являющуюся пересечением двух различных плоскостей, определяемых уравнениями
и
,
можно задавать двумя уравнениями этих
плоскостей, т. е.
-
(7.1)