Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Итак, ВА= .

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что .

Пример 1.5. Найти произведения АВ матриц

А = , В = .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу . По формуле (1.6) находим:

Следовательно: АВ = .

1.4. Свойства произведения матриц

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1. АВ ВА.

2. (АВ)С = А(ВС).

3. (А + В)С = АС + ВС.

4. А(В + С) = АВ + АС.

5. (АВ) = ( А)В = А( В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6. АЕ = А.

7. ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

2. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

3. Какая матрица называется единичной?

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти сумму матриц

, .

Ответ. .

2. Найти матрицу 2А+5В, если

, .

Ответ. .

3. Найти значение матричного многочлена 2А²+3А+5Е при , если Е –единичная матрица третьего порядка.

Ответ. .

4. Найти матрицу АВ, если , В= .

Ответ. АВ= .

5. Дана матрица . Найти матрицу .

Ответ.

6. Даны матрицы А и В :

. Найти

Ответ. ,

2. Определители

1. Операции над определителями

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

А= ,

Тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

det A= = (2.1)

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на второй диагонали матрицы А.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержится все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(2.2)

Правило вычисления определителя третьего порядка таково. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком “минус” – произведения, сомножители которых стоят не на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1).

Порядок определителя равен порядку соответсвующей матрицы.

2.2. Основные свойства определителя

1. Величина определителя не изменяется, если строки и столбцы этого определителя поменять местами, т. е.

= .

2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число (-1).

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число , т. е. общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

= .

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-ой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы определителей, первый из которых имеет в n-ой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в n-ой строке (столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах):

= + .

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

= + ,

=0.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания тех строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Это число .

Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется число, равное минору этого элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца элемента, есть число четное и со знаком (-) – в противном случае

, (2.3)

например,

; ; .

9. Разложение определителя по строке (столбцу). (Один из способов вычисления определителя) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.