Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

3.1. Общий вид и свойства системы уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) имеет вид

(3.1)

Здесь и -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (3.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного .

Решением системы уравнений (3.1) называется набор n чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений(3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (3.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. вычеркивание уравнения -нулевой строки;

1. перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях

2. прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

3.2. Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3.1) в матрицу

А = . (3.2)

Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:

A= , B= . (3.3)

Тогда систему линейных уравнений (3.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен m n, а размер Х- n 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

АХ=В. (3.4)

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера :

_.

Матрица называется расширенной матрицей системы.

Теорема 3.2. (теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Рассмотрим частный случай системы (3.1) , когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид

. (3.5)

Составим квадратную матрицу А 3-го порядка этой системы:

. (3.6)

В матричной форме система уравнений (3.5) имеет вид (3.4):

АХ=В,

где матрицы Х и В имеют размер . Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е существует обратная матрица А^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на получаем решение системы (3.5) в матричной форме:

(3.7)

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по формулам (2.3) и (2.8).

В случае когда порядок n матрицы А и достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.

Другой метод решения системы уравнений (3.6) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

, (3.8)

который называется также определителем системы.

Теорема 3.3. (теорема Крамера). Пусть - определитель матрицы А системы, а -определители, полученные из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В, называемые дополнительными определителями. Тогда, если , система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(3.9)

Формулы вычисления неизвестных (3.9) – решения системы (3.6) –носят название формул Крамера.

Пример 3.1. Найти решение системы уравнений

Решение. Применим метод обратной матрицы

_.

Определитель системы:

= =

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Алгебраические дополнения:

x=1; y=1; z=1.

Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы: отличен от нуля, следовательно система имеет единственное решение.

Вычисляем определители: ; ; :

Тогда: ,

,

.

3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:

(3.10)

1. Рассмотрим элемент , если , то умножим его на( ), ( ) и т.д. и прибавляем его ко 2-й, 3-й и т.д. строкам. Если же , то меняем местами строки или столбцы. Этого можно достичь всегда, если только матрица не имеет вид :

- вид матрицы . (3.11)

В результате

.

1. Рассмотрим матрицу , делаем те же преобразования.

Получаем

4. Рассмотрим матрицу С. Произведем те же преобразования. После этого получим матрицу вида (3.10).

Находим множество решений системы (3.1). Исследуем (решаем) систему, соответствующую матрице (3.10). Итак, матрица (3.10) соответствует системе линейных уравнений вида:

(3.12)

где - это неизвестные переставленные определенным образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, которые приходилось делать по ходу вычислений.

Последние (m-r) уравнений следует понимать как