Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Если хоть одно из , то получим несовместную систему уравнений (т.е. не имеющую решений). Таким образом для всякой совместной системы . Тогда эти выражения можно опустить. Переносим в (3.12) все члены, содержащие в правую часть, тогда

(3.13)

Здесь ( ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные определяются однозначно. Из последнего уравнения находим , далее подставляем в предпоследнее, находим и т.д..

Пример 3.2. Решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы

.

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем со 2-й строкой.Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

.

Умножаем каждый элемент 2-й строки на( ) и складываем с 3-й строкой. Получаем

.

Тогда r(A) = r(A/B) =3 – система совместна.

Полученной матрице соответствует система

,

откуда z = 1; y=1; x=1.

Пример 3.3. Решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

.

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и на (-4) и складываем со второй и третьей строкой соответственно. Получим:

.

Умножаем каждый элемент 2-й строки на(-1) и сложим с 3-й. Получим :

.

Ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы r(A/B)=3, r(A)≠r(A/B), следовательно система несовместна.

Пример 3.4. Решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

~ ~ ~ ,

r(A)=2; r(A/B)= 2 => система совместна. Тогда

где z – свободная переменная, z = t, тогда x =1, y = -t, z = t.

Однородная система имеет либо единственное тривиальное решение, т.е. x = y = z = 0, если ≠0 и ранг матрицы равен числу неизвестных, причем число неизвестных равно числу уравнений, либо имеет бесчисленное множество решений в противном случае.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

5. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

6. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

7. При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

8. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

9. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений:

1. .

Ответ. (1;-2;1).

2. .

Ответ. (3;4;-1).

3. .

Ответ. ( 1+t; -2+3t; 4-t; t ).

4. .

Ответ. ( -1+2t; 2-t; 3+t; t ).

5. .

Ответ. ( 0; 0; 0 ).

4. Векторная алгебра

4.1. Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах приходится рассматривать направленный отрезок.

Определение. Будем говорить, что всякий направленный отрезок задает вектор.

Обозначение ( - начало, - конец), либо .

В

А

Рис. 2.

Начало вектора называют точкой его приложения.

Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля , .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковые направления. (Все нулевые векторы равны).

В любой системе координат вектор характеризуется своими координатами: .

Если известны координаты точек начала и конца вектора ; , то т.е. координаты вектора равны разностям координат конца и начала вектора. Длина вектора .

Определение. Векторы называют компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

4.2. Линейные операции над векторами

1. Операция сложения;

2. Операция вычитания (частный случай сложения);

3. Операция умножения на вещественное число.

4.2.1. Операция сложения векторов

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника).

Свойства операции сложения векторов

1. (переместительное свойство);

2. (сочетательное свойство);

3. Наличие нулевого вектора такого, что для любого вектора .

4. Наличие для каждого вектора противоположного ему вектор такого, что (противоположный вектор – вектор коллинеарный вектору , но имеющий противоположное направление).

5. Для n-ого числа векторов существует «правило замыкания ломаной до многоугольника»: если приложить вектор к концу вектора , вектор к концу , …, вектор к концу вектора , то сумма будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .