Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Определение. Угол наклона вектора к оси u – это угол между двумя выходящими из точки А лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением , а другой - с осью u.

Теорема 2. Проекция вектора на ось u равна длине вектора , умноженной на косинус угла наклона к оси u (видно из чертежа).

.

, а так как - единичные векторы,то .

Обозначим , - углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz.

Определение. Числа , , принято называть направляющими косинусами вектора .

Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает, что

; ; _. (4.5)

Учитывая, что - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем выражение длины вектора, а также направляющих косинусов через его координаты

(4.6)

(4.7)

Из равенств (4.7) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1

Вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.

Точки и определяют направленный отрезок .

Пусть любая отличная от и точка прямой.

Число называется отношением, в котором точка делит направленный отрезок .

Если спроецировать точки на координатную ось, то точка делит направленный отрезок в отношении , т.е. .

; , тогда , отсюда

; ; - (4.8)

- формула для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении

Если =1, то делит отрезок пополам.

Тогда

; ; . (4.9)

4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное

4.7.1. Скалярное произведение

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение или .

, (4.10)

где - угол между и .

Физический смысл – скалярное произведение- это работа вектора силы вдоль вектора .

Произведение - есть проекция вектора на ось, определяемую вектором , или же - проекция вектора на ось, определяемую вектором , гдеугол - угол между и .

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

_, (4.11)

. (4.12)

Геометрические свойства скалярного произведения

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство относительно числового множителя).

3. (распределительное свойство относительно суммы векторов).

4. , если - ненулевой вектор,

5. , если - любой вектор.

Действительное векторное пространство с определенным нами скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Скалярное произведение очень просто выражается через координаты векторов и в базисе , а именно:

Теорема. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами: ; , то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, то есть

, (4.13)

Теорема доказывается путем почленного скалярного перемножения многочленов

Отметим, что скалярное произведение для системы единичных базисных векторов обладает свойством:

при , то есть