Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство

.

Следствие 2. Угол между векторами определяется формулой

(4.14)

Следствие 3. Модуль вектора

4.7.2. Векторное произведение векторов

Для определения векторного произведения векторов введем определения правых и левых троек векторов и системы координат.

Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, .

Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если выполнено одно из условий:

1) если, будучи приведенными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

2) если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами и , откуда кратчайший поворот от к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , мы видим поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелке (по часовой стрелке).

Эти три условия эквивалентны.

Из трех векторов можно составить шесть троек:

; ; одной ориентации;

; ; противоположной ориентации.

Определение. Декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий трем требованиям:

1. длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, то есть

; (4.15)

2. вектор ортогонален к каждому из векторов и ;

3. вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Физический смысл векторного произведения: вектор есть момент силы , приложенной в точке , относительно точки , из которой в точку идет вектор .

Геометрические свойства векторного произведения

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема. Длина (или модуль) векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Введем определение орта: ортом произвольного ненулевого вектора назовем единичный вектор, коллинеарный и имеющий одинаковое с направление.

Следствие из теоремы. Если - орт векторного произведения , а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , то для векторного произведения справедлива формула

, (4.16)

где тройка векторов - правая.

Алгебраические свойства векторного произведения

1. (свойство антиперестановочности сомножителей).

2. (сочетательное относительно числового множителя).

3. (распределительное относительно суммы векторов).

4. для любого вектора , так как вектор коллинеарен сам себе.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами и , то векторное произведение этих векторов имеет вид

(4.17)

или же

. (4.18)

Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, то есть

(эту пропорцию следует понимать как и т.д.).

4.7.3. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора , и . Если вектор векторно умножается на , а затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор , то получается число, называемое смешанным произведением векторов , , .

Геометрический смысл

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , взятому со знаком (+), если тройка правая, и со знаком (-) , если тройка левая.

Следствие 1. Справедливо равенство

.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следсвие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. (Такие три вектора заведомо компланарны).

Смешанное произведение в декартовых координатах

Теорема. Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть

. (4.19)

Пример 4.1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен вектору ?

Решение. Если , то .

Раскрывая скобки в последнем равенстве (в силу свойства скалярного произведения), получим , откуда .

Пример 4.2. Дан треугольник с вершинами (-3,5,6),

(1,-5,7), (8,-3,-1). Найти внутренний угол при вершине .

Решение. Внутренний угол треугольника при вершине равен углу между векторами и .

По формулам находим координаты указанных векторов:

, .

С помощью формулы находим косинусы углов:

_.

Следовательно, .

Пример 4.3. Даны три вектора , , . Найти .

Решение. Определим вектор:

;

В соответствии с формулой находим:

.

Пример 4.4. Упростить выражение .

Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного произведения получаем

_.

Пример 4.5. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).

Решение. Находим сначала координаты векторов и :

, .

Координаты векторного произведения определяем по формуле:

.

Получаем

или .

Находим площадь треугольника

Пример 4.6. Доказать, что векторы , , компланарны.