Материал: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Розаренов Г.С

8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса (8.2).

Эллипс представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, пересекающей все прямолинейные образующие одной плоскости конуса.

О пределение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы совпадают, то эллипсы представляют собой окружность.

Рис. 18.

Пусть постоянная, о которой говорилось в определении, равна 2а, F₁ и F₂ - фокусы. Точки F₁ и F₂ имеют координаты: F₁=(-c,0); F₂=(c,0). Пусть расстояния от выбранной точки плоскости М(х,у) до F₁ и F₂ равны r₁ и r₂ , соответственно.

Тогда r₁+r₂=2а - есть необходимое и достаточное условие расположения точки М на эллипсе.

Так как r₁=MF₁= ; r₂=MF₂= , то

Преобразуем

;

;

;

.

Обозначая ² = а² – с², имеем

- = + ; .

- каноническое уравнение параболы.

(8.6)

- каноническое уравнение пересекающихся прямых.

, ( ) (8.7)

- каноническое уравнение пары параллельных или совпадающих прямых.

Тогда

, а ³ > 0

- каноническое уравнение эллипса.

Если в уравнении заменить х на – х; у на – у, то уравнение не изменится. Это значит, что эллипс - кривая симметричная относительно оси х и у.

Величины а и называются большой и малой полуосями эллипса, т.к. а > . (Эллипс проходит через точки (0, ) и (а,0) или (0, - ) и (- а,0), которые называются вершинами эллипса). Эллипс - непрерывная замкнутая кривая, которая находится внутри прямоугольника £ а; |у| £ .

Если полуоси эллипса а = , то эллипс трансформируется в окружность радиуса R = а = с центром в начале координат. Эллипс может быть получен путем равномерного сжатия окружности радиуса а.

8.2. Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, пересекающей образующие обеих полостей конуса.

О пределение.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть F₁(- c, 0), F₂(c, 0) фокусы, М – точка плоскости с координатами (х, у). – согласно определению является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Тогда

Обозначая =с² – а², имеем

,откуда

- каноническое уравнение гиперболы.

Величины и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Так как величины и в четных степенях, то уравнению (8.4) удовлетворяют не только координаты точки М(х;у), но и координаты точки (х; -у), (-х; у), (-х; -у) – симметричных относительно осей координат и центра координат. Таким образом, гипербола обладает свойством симметрии.

Главными осями гиперболы, заданной каноническим уравнением (8.4) являются оси координат, а центром гиперболы – начало координат.

Ось 0х - действительная ось гиперболы (так как пересекает гиперболу в двух точках) : у = 0 Þ ; 0у – мнимая ось (так как не имеет с гиперболой общих точек) : х =0 действительных решений нет.

Точки А(-а,0) и В(а, 0) – вершины гиперболы, точки, в которых гипербола пересекает ось 0х. Фокусы гиперболы располагаются на действительной оси.

Рассмотрим прямоугольник, диагонали которого определяются уравнениями и . Ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника, которые называются асимптотами гиперболы.

8.3. Каноническое уравнение параболы

Парабола представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, параллельной одной из образующих конуса.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в данной рассматриваемой плоскости.

Точка F – называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой (направляющей) параболы.

Пусть . Тогда согласно определению

r = d – необходимое и достаточное условие расположения точки М(х, у) на данной параболе.

Пусть , тогда F( .

Тогда r = ,

d = Þ

= .

Упрощаем:

(х - .

Отсюда

-рх + у² = рх,

у² = 2рх

- каноническое уравнение параболы.

Из этого уравнения видно, что парабола симметрична относительно оси 0х.

Еe верхняя половина определяется уравнением

у = (0£ х < ).

Точка пересечения с осью симметрии называется вершиной параболы. Величина р – называется параметром параболы. Так как р > 0, то вся парабола расположена в правой полуплоскости 0ху. (Для р < 0 парабола расположена в левой полуплоскости).

Директриса параболы, определяемой каноническим уравнением у² = 2рх (р > 0) имеет уравнение

у = . (8.8)

Используя понятие фокуса и директрисы, можно определение параболы сформулировать так: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.