Материал: 978-5-7996-1814-8_2016
6. Решение типового варианта расчетной работы
Вычислим коэффициенты an по формуле (5.19)
|
|
|
|
|
= 2 |
l |
|
|
|
|
ж |
0,5 |
|
|
1 |
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
з |
т |
0,3dx - |
т |
|
|
ч |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
|
f (x)dx = 2з |
|
|
0,3dx |
ч |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
an = |
2 l |
f (x)cos |
pnx |
|
|
ж |
0,5 |
0,3cos pnxdx - |
1 |
|
|
|
|
ц |
= |
1,2 |
sin |
pn |
. |
||||||||
l |
т |
|
|
l |
dx = 2з |
т |
т |
0,3cos pnxdx ч |
np |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
0 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
Если n — четное, то |
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если n — нечетное, |
|
a = 0 |
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2k -1, k =1,2,3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
ж |
|
p |
ц |
k -1 1,2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
an |
= |
|
|
|
|
|
|
sinзkp - |
|
ч = (-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(2k -1)p |
|
2 |
(2k |
-1)p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставим найденные коэффициенты в (5.18), получим искомое разложение в ряд
|
1,2 |
ж cos px |
|
cos3px |
|
cos5px |
k -1 cos(2k -1)px |
ц |
|||
f (x) = |
p |
з |
|
- |
|
+ |
|
+ ...(-1) |
|
+ ...ч. |
|
1 |
3 |
5 |
2k -1 |
||||||||
|
и |
|
|
|
ш |
||||||
89
7.Расчетная работа
Вданном разделе приведены задачи, которые могут быть использованы для проведения расчетной работы, а также контрольных работ по теме «Ряды».
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
|
а) 1+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+ ; |
|
|||
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) 3 - |
|
5 |
+ |
|
|
7 |
|
|
- |
|
9 |
+ . |
|
|
1Ч2Ч3 |
1Ч2Ч3Ч4 |
|||||||||||
|
1Ч2 |
|
|
|
|||||||||
2.Вычислить сумму ряда
1 + 1 + 1 + .
1Ч2 2Ч3 3Ч4
3. Найти область сходимости ряда
Ґ (x - 7)n
еn=1 4n .
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:
f (x) = arcsin x -1 |
||
|
|
. |
|
x |
|
|
|
|
5. Используя соответствующий ряд, вычислить sin20 с точностью до 0,001.
90
7.Расчетная работа
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
0,6
т 1+ x3 dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уўў = yex , у(0) =1, yў(0) = 0.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м-1, - p < x Ј 0, |
|
f (x) = н |
1, 0 < x Ј p. |
о |
|
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
|
. |
f (x) = x2 +1, |
x О(0;1) |
Вариант 2
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды а) (12!!)2 + (24!!)2 + (66!!)2 + ;
б) 2 - 34 + 49 - 165 + .
2.Вычислить сумму ряда:
1 + 1 + 1 + 1 + . 1Ч3 2Ч4 3Ч5 4Ч6
3. Найти область сходимости ряда
Ґ (x - 2)n
еn=1 (3n +1)2n .
91
7. Расчетная работа
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:
6 2 .
8 + 2x - x
5.Используя соответствующий ряд, вычислить cos 40 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
т1 e- x2 dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уўў = xy + yў, y(0) = yў(0) =1.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м |
0, - p < x Ј 0, |
f (x) = н |
2, 0 < x Ј p. |
о |
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию f (x) = x2 -1, x О(0;1).
Вариант 3
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
а) 1Ч111 + 2Ч112 + 3Ч113 + ;
б) cose e - cose22e + cose33e - cose44e + .
2. Вычислить сумму ряда и найти область его сходимости
1- 3x2 + 5x4 - 7x6 + .
92
7. Расчетная работа
3. Найти область сходимости ряда
Ґ |
|
3n |
|
|
е |
|
|
(x - 2)3n . |
|
( |
) |
3 |
||
n=1 |
|
|
||
|
5n - 8 |
|
|
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х:
416 - 3x .
5.Используя соответствующий ряд, вычислить 3 130 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить 1
0,5
т cos(4x2 )dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = e2xy +1, у(0) = 0.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м |
1, |
- p |
< x Ј p , |
|
|||
п |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
f (x) = н |
|
|
p |
|
3p |
|
|
п |
-1, |
< x Ј |
. |
||||
|
|
||||||
п |
2 |
2 |
|||||
о |
|
|
|
|
|||
9. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию f (x) = x2, x О(0;2).
93