Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Фурье функцию

				м-2,			- p < x < 0,
			f (x) = н		3,		0 Ј x < p.
				о
Ответ. f (x) =	1	+	10	ж		1	sin3x +	1	sin5x +	1	ц
	2		p	з sin x +		3		5		7	sin7x + ...ч.
				и							ш

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = 5x -1 на интерва-

ле (	-5;5 .
ле (	)
		50	Ґ	n+1	sin pnx.
Ответ. f (x) = -1+		50	е	(-1)
Ответ. f (x) = -1+		p	е	n
		p	n=1	n	5

3. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x на интервале

(	-1;1 .
(	)						(
		1	4		Ґ	cos		2n -1 px
	Ответ. f (x) =	1	4		е				)
		2	-							.
		2	-	p2		(		)	2	.
					n=1		2n -1

4.РазложитьврядФурьепокосинусамфункцию f (x) = 12 x2 + 3 на интервале (0;p).

Ответ. f (x) = 3 +	p2	Ґ	n cosnx
	6	+ 2е(-1)		n	2 .
		n=1

5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f (x) = x sin x на интервале (0;p).

	p	8	Ґ		n
Ответ. f (x) = -	2 sin x - p		еn=1				sin2nx.
Ответ. f (x) = -	2 sin x - p		еn=1	(	4n2 -1	2	sin2nx.
				(	)

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:


a)	1	+	3	+		5		+	7		,
	2		2			3			4
			2			2			2
б) -			2		+	4				-		6	+	8	- .

		12 +1					22 +1					32 +1		42 +1

Решение

а) Найдем общий член ряда. Числители образуют арифметическую прогрессию

1,3,5,7,....

n й член прогрессии находится по формуле an = a1 + d(n -1). Здесь a1 =1, d = 2, поэтому an = 2n -1. Знаменатели образуют геометрическую прогрессию

2,22,23,24,....

n й член данной прогрессии находится по формуле bn = b1qn-1. Здесь b1 = 2, q = 2, поэтому bn = 2n. Следовательно, общий член ряда будет иметь вид

un = an = 2n -1.

bn 2n

Ряд знакоположительный. Исследуем его на сходимость. Используем признак Даламбера:

6. Решение типового варианта расчетной работы

2(n +1)-1

2n +1 1

lim

= lim

2n+1

2n -1

(2n -1) 2

n®Ґ

Так как 12 <1, ряд сходится.

б) Найдем общий член ряда. Числители образуют арифметическую прогрессию

2, 4, 6, 8, ....

n й член прогрессии находится по формуле an = a1 + d(n -1). Здесь a1 = 2, d = 2, поэтому an = 2n. Закономерность в знаменате-

ле очевидна n	. Общий член ряда будет иметь вид
b	= n2 +1
		a			2n		.
	un = (-1)n	n	= (-1)n
	un = (-1)n		= (-1)n	n	2
		b		n		+1
		n

Ряд знакочередующийся. Исследуем его на абсолютную сходимость. Используем признак Лейбница. Проверим условия (1.19) и (1.20):

1) un > un+1;

2) lim 2n = 0.

n®Ґ n2 +1

Так как оба условия выполняются, то ряд сходится. Составим ряд из абсолютных величин

zn = n22n+1.

Исследуем данный числовой ряд на сходимость. Используем интегральный признак Коши

Ґ 2xdx				2		Ґ
Ґ 2xdx				2		Ґ
т			= ln(x		+1)		= Ґ.
	x2	+1	= ln(x		+1)	1	= Ґ.
	x2	+1				1
1

Интеграл расходится. Следовательно, данный по условию ряд сходится условно.

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 2. Вычислить сумму ряда:

1	+	1	+	1	+ .
1Ч4		4Ч7		7Ч10

Решение

Найдем общий член ряда. Разложим знаменатель на две арифметические прогрессии

1,4,7,... и 4,7,10,....

Общий член ряда будет иметь вид

un =	1	.
	(3n - 2)(3n +1)

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

	1	=		A		+			B	.
(3n - 2)(3n +1)		=	3n - 2			+		3n +1		.
(3n - 2)(3n +1)			3n - 2					3n +1
Вычислим коэффициенты А и В:
	1= A(3n +1)+ B(3n - 2),
				м	= -		1		,
	м3A + 3B = 0,			пB	= -		3		,
	м3A + 3B = 0,			п			3
	н			н		1
	оA - 2B =1;			п	=	1	;
				пA	=	3	;
				о		3

											1					=	1 ж		1		-		1		ц
																	з								ч.
							(3n - 2)(3n +							1)			з		3n - 2				3n		ч.
							(3n - 2)(3n +							1)			3 и		3n - 2				3n	+1ш
Составим n ю частичную сумму ряда:
	1	ж		1		1			1		1		1						1				1		ц	1 ж			1 ц
Sn =		з1	-		+			-		+		-			+ ...+					-					ч =		з1	-		ч.
Sn =	3	з1	-	4	+	4		-	7	+	7	-	10		+ ...+			3n - 2		-		3n +1			ч =	3	з1	-	3n +1	ч.
	3	и		4		4			7		7		10					3n - 2				3n +1			ш	3	и		3n +1	ш

Вычислим предел последовательности частичных сумм:

S = lim	1	ж	-	1	ц	=	1
		з1			ч			.
	3			3n +1			3
n®Ґ		и			ш

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 3. Найти область сходимости ряда:

x - 4

е (

n=1

Решение

Применяем признак Даламбера:

= lim

(x - 4)2(n+1) 3n n3

| (x

- 4)2 |

lim

n+1

(n +1)3 3n+1(x - 4)2n

n®Ґ

Решим неравенство

(x - 4)2

< 3

4 - 3 < x < 4 + 3

. Получим

Исследуем отдельно точки x = 4 -

3, x = 4 +

Пусть x = 4 ± 3. Получим ряд

Ґ 1

еn=1 n3 ,

который сходится как обобщенный гармонический (p = 3 >1). Таким образом, область сходимости ряда:

[4 - 3;4 + 3].

Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:

f (x) = 1-xe2- x2 .

Решение

Воспользуемся разложением ex в ряд Маклорена

ex =1+ x +

+ ...+

+ ..., - Ґ < x < +Ґ.

Заменяя x на -x2, получим

e- x2 = е(-1)n

;

n=0

1- e- x2

= е(-1)n-1

;

n=1

Источник: https://studfile.net/preview/16668029/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика