Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье

Винтервале(-p;p) это равенство имеет место в точках непрерывности функции f (x), то есть в данном случае в всех внутренних точках интервала (-p;p). Вне интервала этот ряд изображает периодическое продолжение рассматриваемой функции.

Вточках же разрыва, которыми являются точки ±p, ± 3p, ...,

сумма ряда равна среднему арифметическому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках.

Найдем эти пределы

Среднее арифметическое этих пределов

Во всех точках разрыва этой функции получим то же самое. Из полученного разложения при x = p2 можно получить ин-

тересную сумму

Отсюда следует, что сумма ряда

1- 13 + 15 - 17 + ... = p4.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) = x , - p Ј x Ј p.

69

5. Ряды Фурье

Решение

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.3).

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. На интервале (-p;p) функция f (x) = x чет-

ная. Отсюда следует, что ряд Фурье этой функции будет содержать только постоянную составляющую и косинусы, а при синусах все коэффициенты bn = 0 (n =1,2,3,...). Вычислим коэф-

фициенты an по формулам (5.12)

Если n — четное число, то a2 = a4 = a6 = .... = a2k = 0, а если n — нечетное число, то an = - p4n2 .

Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:

70

5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Так как функция f (x) = x непрерывна на отрезке [-p;p], то полученный ряд сходится к x при всех значениях x из этого

отрезка, а вне этого отрезка — к периодическому продолжению этой функции.

Из полученного ряда можно получить интересную сумму. Пусть x = 0, тогда

умножая обе части этого равенства на p4, получим

5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Пусть функция f (x), определенная на отрезке [-l;l], имеет период 2l ( f (x + 2l) = f (x), где l — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Разложение функции j(t) в ряд Фурье на отрезке [-p;p] имеет вид

71

5. Ряды Фурье

где

Ряд (5.15) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (5.16), (5.17), называется рядом Фурье для функции f (x) с пери-

одом Т = 2l.

Замечание

Если функция f (x) на отрезке [-l;l] четная, то ее ряд Фурье будет иметь вид

72

5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Решение

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.4).

y

Рис. 5.4

Найдем коэффициенты ряда Фурье. Коэффициенты an вычислим по формуле (5.16)

Вычислим отдельно a0.

a0 =1.

73