Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

5. Ряды Фурье

Числа a0, an, bn (n =1,2,...), определяемые по формулам (5.8)– (5.10), называются коэффициентами Фурье функции f (x).

Для функции f (x) интегрируемой на отрезке [-p;p] записывают:

f (x) a0 Ґ (a cosnx b sinnx)

2 + е n + n

n=1

иговорят: функции f (x) соответствует (поставлен в соответ-

ствие) ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x).

Рассмотрим условия, при которых ряд Фурье функции f (x) сходится и имеет своей суммой функцию f (x).

Функции, которые имеют период Т = 2p называют 2p-пери одическими функциями.

Теорема Дирихле

Пусть 2p-периодическая функция f (x) на отрезке[-p;p] удовлетворяет условиям:

1.f (x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2.f (x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем от-

резке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f (x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1.В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x) = f (x);

2.В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна:

64

5.1. Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле

то есть равна среднему арифметическому пределов функции

f(x) справа и слева;

3.В точках x = -p и x = p (на концах отрезка) сумма ряда равна

Условия 1 и 2 Теоремы Дирихле называются условиями Ди

рихле.

Итак, если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, то на отрезке [-p;p] имеет место разложение (5.7):

где коэффициенты вычисляются по формулам (5.8)- (5.10). Равенство (5.7) может нарушаться только в точках разрыва функции f (x) и на концах отрезка [-p;p].

В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.

Замечания

1. Если функция f (x) с периодом 2p на отрезке [0;2p] удов-

летворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (5.7), где коэффициенты определяются по формулам

a0 = 1 2тp f (x)dx, p 0

an = 1 2тp f (x)cosnxdx, n =1,2,3,..., p 0

bn = 1 2тp f (x)sinnxdx, n =1,2,3,....

p 0

65

5. Ряды Фурье

2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, то есть теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

Пример. Разложить в ряд Фурье на отрезке [-p;p] функцию

м-x, - p Ј x Ј 0, f (x) = пн x2 , 0 < x Ј p.

п p

о

Решение

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.1).

y

Рис. 5.1

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье.

66

5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье

bn = 1 тp f (x)sinnxdx =

p -p

Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:

5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье

Если разлагаемая в ряд Фурье на отрезке[-p;p] функция f (x)

является четной (или нечетной), то вычисление коэффициентов Фурье упрощается.

Пусть функция f (x) четная. Ряд Фурье будет иметь вид

n=1

67

5. Ряды Фурье

где

Ряды (5.11) и (5.13) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) = x, - p < x < p.

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.2).

y

Рис. 5.2

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. На интервале (-p;p) функция f (x) = x

нечетная. Отсюда следует, что ряд Фурье этой функции будет содержать только синусы, а при косинусах все коэффициенты

Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:

68