Материал: 978-5-7996-1814-8_2016
3. Степенные ряды
Ґ
2. Найти область и радиус сходимости степенного ряда еxn .
n=1
Ответ. Область сходимости степенного ряда (-1;1), радиус сходимости R =1.
3. Найти область и радиус сходимости степенного ряда Ґ xn .
еn=1 nn
Ответ. Ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой (-Ґ;Ґ).
4. |
Разложить функцию f (x) = 1+ x2 в степенной ряд с цен- |
||||||||||||
тром в точке x0 = 0. |
-1 n+1 1Ч3Ч5Ч...Ч(2n - 3) x2n . |
||||||||||||
|
|
1+ x2 |
+ Ґ |
||||||||||
Ответ. |
|
|
|
е( |
|
|
) |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
(2n)!! |
||||||
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
||||
5. |
Разложить функцию f (x) = sin2 x в степенной ряд. |
||||||||||||
|
|
Ґ |
-1 n+1 22n-1 Ч x2n . |
||||||||||
Ответ. е( |
|
) |
|
(2n)! |
|
|
|
|
|||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Разложить функцию f (x) = ln(3 - x) в ряд Маклорена. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Ґ |
xn+1 |
|
|
|
|
|||
Ответ. ln3 - е |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
3n+1 Ч |
( |
n + |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
) |
|
|
|||
54
4.Приложения степенных рядов
4.1.Приближенные вычисления значений функции
Для вычисления приближенного значения функции f (x) в ее
разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n — конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка Rn < un+1 ,
где un+1 — первый из отброшенных членов ряда. Приближенное вычисление значения функции в точке.
Пример. Вычислить cos10 с точностью до 0,0001.
Решение
Используем разложение функции cos x в ряд
|
x2 |
x4 |
x6 |
|
|
n-1 |
|
x2(n-1) |
|
+ ..., - Ґ < x < +Ґ. |
|||||
cos x =1- |
|
+ |
|
- |
|
+ ...+ (-1) |
|
|
|
|
|||||
2! |
4! |
6! |
|
[ |
2(n -1) |
! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
||
Переведем градусы в радианы |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
10 Ч |
|
= |
18 |
» 0,17453 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|||
55
4. Приложения степенных рядов
Подставим в разложение cos x вместо x число 0,17453, получим
cos10 =1- |
(0,17453)2 |
+ |
(0,17453)4 |
+ ... |
|
|
|||
2! |
4! |
. |
||
|
||||
Третий член ряда меньше заданной точности, то есть
(0,17453)4 < 0,0001
|
. |
|
4! |
||
|
Так как ряд знакочередующийся, то
R2 < u3 < 0,0001,
то есть погрешность от отбрасывания всех членов ряда, начиная с третьего, меньше 0,0001.
Таким образом,
cos10 »1- 0,01523;
cos10 » 0,9848.
4.2. Приближенные вычисления определенных интегралов
Ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной затруднительно.
|
0,25 |
Пример. Вычислить интеграл J = |
т e- x2 dx с точностью |
до 0,001. |
0 |
|
Решение
Используем разложение функции ex в ряд
ex =1+ x + x2 + x3 + ...+ xn + ..., - Ґ < x < +Ґ.
2! 3! n!
56
4.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Подставим в разложение ex вместо x выражение -x2, получим
e- x2 =1- x2 + x4 - x6 + ..., - Ґ < x < +Ґ.
1! 2! 3!
Вычислим интеграл
0,25 |
0,25 |
|
x |
4 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
0,25 |
|
x |
5 |
|
|
0,25 |
|
x |
7 |
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
т e- x2 dx = т |
(1- x2 + |
|
|
- |
|
+ ...)dx = x |
|
00,25 |
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ ... = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2! |
|
3! |
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
42 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
- |
|
|
|
+ |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
1!Ч3Ч43 |
|
2!Ч5Ч45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0,001, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2!Ч5Ч |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
т |
|
e- x2 dx » |
- |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0,245 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.
Рассмотрим на примерах два метода решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Метод неопределенных коэффициентов
Данный метод наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
57
4. Приложения степенных рядов
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, yў = x2 + y , y(0) =1,
используя метод неопределенных коэффициентов.
Решение
Решение будем искать в виде ряда:
y(x) = c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 + ....
Продифференцируем последнее равенство по x yў(x) = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ....
Подставим y(x), yў(x) в данное по условию уравнение и затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ... = x2 + c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 + ...,
x0 : c1 = c0, x1 : 2c2 = c1,
x2 :3c3 = c2 +1,
x3 : 4c4 = c3, ... .
Определяем коэффициенты:
c0 = y(0) =1, c1 =1, c2 = 12, c3 = 12, c4 = 18.
Таким образом,
y(x) =1+ x + x2 + x3 + x4 + ....
2 2 8
Метод последовательного дифференцирования
Метод последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.
58