Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

3. Степенные ряды

при условии, что этот предел существует (конечный или бесконечный).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Найдем радиус сходимости.

R = lim (n +21)2 =1.

n®Ґ n

Решим неравенство

x - 2 <1.

Получим интервал

1< x < 3.

Исследуем отдельно точки x =1, x = 3.

Пусть x =1. Получим знакочередующийся ряд

Ґ ( 1)n 1

е - n2 ,

n=1

который сходится по признаку Лейбница. Пусть x = 3. Получим числовой ряд

Ґ 1

еn=1 n2 ,

который сходится (по интегральному признаку Коши). Таким образом, данный по условию ряд сходится в области

1Ј x Ј 3.

44

3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда

2. Если исходный ряд имеет вид

a0 + a1(x - x0 )p + a2(x - x0 )2 p + ...+ an (x - x0 )np + ...

(p — некоторое определенное целое положительное число 2,3…), то

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю, и последовательность оставшихся в ряду показателей степеней разности x - x0 любая (то есть не образует арифметическую про-

грессию), то радиус сходимости равен

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда:

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ (x +1)n

еn=1 nЧ5n .

Решение

Применяем признак Даламбера:

Решим неравенство x +1 < 5. Получим -6 < x < 4.

45

3. Степенные ряды

Исследуем отдельно точки x = -6, x = 4.

Пусть x = -6. Получим знакочередующийся ряд

который сходится по признаку Лейбница.

Пусть x = 4. Получим гармонический ряд

Ґ 1,

еn=1 n

который расходится.

Таким образом, данный по условию ряд сходится в области

-6 Ј x < 4.

3.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Ряд, полученный почленным дифференцированием (интегрированием) степенного ряда, имеет тот же интервал сходимости и его сумма внутри интервала сходимости равна производной (интегралу) от суммы первоначального ряда.

46

3.4.Разложение функций в степенные ряды

3.4.Разложение функций в степенные ряды

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале x - x0 < R, то есть

x0 - R < x < x0 + R

может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

где Rn (x) — остаточный член формулы Тейлора (остаток ряда),

Теорема 1

Для того чтобы ряд Тейлора функции f (x) сходился к f (x)

в точке x, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn (x) удовлетворял условию:

limRn (x) = 0.

n®Ґ

47

3. Степенные ряды

Теорема 2 (достаточное условие разложимости функции в ряд

Тейлора)

Если в некотором интервале, содержащем точку x0, при любом n выполняется неравенство

f (n)(x) < M,

где М — положительная постоянная, то

limRn = 0

n®Ґ

и f (x) разложима в ряд Тейлора.

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Рассмотрим разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций.

1. f (x) = sin x.

Данная функция имеет производные любого порядка, причем

48