Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

2.3. Свойства функциональных рядов

с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения

u1(x) Ј a1, u2(x) Ј a2, ..., un (x) Ј an.

Говорят, что ряд (2.2) мажорируется рядом (2.3), или ряд (2.3) служит мажорантным для ряда (2.2).

Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [a,b], есть функция непрерывная на этом отрезке.

2.3. Свойства функциональных рядов

Ґ

Теорема 1. Если ряд еun (x), где u1(x), u2(x), u3(x)... — непре-

n=1

рывные функции, равномерно сходится в некоторой области X и имеет сумму S(x), то ряд

тb u1(x)dx + тb u2(x)dx + ...+ тb un (x)dx + ...

a a a

сходится и имеет сумму тb S(x)dx, [a,b]О X .

a

Теорема 2. Пусть функции u1(x),u2(x),...,un (x),... определены в некоторой области X и имеют в этой области непрерывные

ма равна производной от суммы первоначального ряда

39

2. Функциональные ряды

Задачи для самостоятельного решения

Ґ xn

3. Найти область сходимости ряда е .

n=1 n

Ответ. x О[-1,1).

числовой прямой.

40

При x < x0 ряд (3.5) представляет собой геометрическую про-

грессию со знаменателем x <1 и, следовательно, сходится. x0

Так как члены ряда (3.4) меньше соответствующих членов ряда (3.5), то ряд (3.4) сходится. Значит ряд (3.3) или (3.1) сходится (сходится абсолютно).

2. Если бы в какой-то точке x, удовлетворяющей условию x > x0ў , ряд сходился, то в силу (1) он должен был бы сходить-

ся и в точке x0ў, так как x0ў < x . Но это противоречит условию,

что в точке x0ў ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке x.

42

3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда.

Если x0 — точка сходимости, то весь интервал (- x0 ; x0 ) за-

полнен точками абсолютной сходимости.

Обозначим x0 = R — радиус сходимости, (-R;R) — интервал сходимости степенного ряда.

1.Пусть R > 0. Если x < R, то при всех x ряд сходится абсолютно. Если x > R, то при всех x ряд расходится.

2.Пусть R = 0. Ряд сходится только в точке 0 (или x0).

3.Пусть R = Ґ. Ряд сходится на всей числовой оси ОХ.

На концах интервала вопрос о сходимости (расходимости) решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Рассмотрим ряд (3.2). Если x0 = 0, то получим ряд (3.1).

Определим область сходимости ряда (3.2). Пусть x - x0 = X , тогда

a0 + a1X + a2 X 2 + a3 X 3 + ...

X < R — интервал сходимости ряда (3.2). Получим

x - x0 < R,

x0 - R < x < x0 + R.

Точки x = x0 ± R исследуются на сходимость отдельно.

3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда

1. Если ai № 0 (i = 0, 1, ..., n), то есть ряд содержит все целые положительные степени разности x - x0, то

R = lim an

n®Ґ an+1

43