Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременно

го ряда).

Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из абсолютных величин данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство

Пусть Sn и G n — суммы первых n членов ряда (1.21) и (1.22); Snў — сумма всех положительных членов ряда (1.21); Snўў — сум-

ма абсолютных величин всех отрицательных первых n членов ряда (1.21).

Тогда

По условию Gn имеет предел G.

Snў, Snўў — положительные возрастающие величины, меньшие G, следовательно, они имеют пределы Sў, Sўў.

Из соотношенияSn = Snў - Snўў следует, чтоSn имеет предел и он равен Sў - Sўў, то есть знакопеременный ряд (1.21) сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

29

вию ряд сходится.

Данный признак является достаточным, но не необходимым.

Абсолютная и условная сходимость

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Если же знакопеременный ряд (1.23) сходится, а ряд (1.24) расходится, то ряд (1.23) называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

Решение

Данный ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд, составленный из абсолютных величин

Ґ 1

еn=1 n

расходится (как гармоничный). Данный по условию ряд является условно сходящимся.

30

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Пример. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

Решение

Трудно проверить условия теоремы Лейбница. Исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин

Ґ 2n-1

еn=1 n .

Используем признак Даламбера:

Значит ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Поэтому данный по условию ряд сходится, причем абсолютно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из данного ряда перестановкой членов, так же сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд.

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 иS2 можно поч-

ленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1 + S2 (S1 - S2 ).

3. Под произведением двух рядов

u1 + u2 + u3 + ... и v1 + v2 + v3 + ...

понимают ряд вида

u1v1 + (u1v2 + u2v1)+ (u1v3 + u2v2 + u3v1)+ ...+ (u1vn + u2vn-1 + ...+ unv1)+ ...

31

1. Числовые ряды

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммамиS1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2.

Замечание

В случае условно сходящихся рядов соответствующие свойства не имеют места.

Задачи для самостоятельного решения

1. Исследовать на сходимость и установить сумму ряда

Ответ. Ряд расходится.

Ґ 2n -1

5. Исследовать числовой ряд на сходимость е .

n=1 n!

Ответ. Ряд сходится.

32

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

6. Исследовать на сходимость ряд Ґ (-1)n n .

е

n=1 4n -1

Ответ. Ряд расходится.

Ответ. Ряд сходится условно.

33