Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

или

un+1 > un,

то есть члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому

limun № 0,

n®Ґ

Ґ

значит ряд еun расходится.

n=1

Замечание

Если l =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ n5

еn=1 2n .

Решение

Вычислим предел

Так как 12 <1, то по признаку Даламбера данный по условию ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ n!

еn=1 5n .

Решение

Вычислим предел

19

1. Числовые ряды

Так как предел равен бесконечности, то по признаку Даламбера данный по условию ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд, используя признак Даламбера:

Ґ 1

еn=1 n + 2.

Решение

Вычислим предел

Так как предел равен 1, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Радикальный признак Коши

Ґ

Теорема. Пусть дан ряда еun с положительными членами

n=1

исуществует конечный или бесконечный предел

lim n un = l .

n®Ґ

Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.

Доказательство

Так как lim n un = l , то по определению предела — для любо-

n®Ґ

го e > 0 существует номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство

n un - l < e

или

20

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть l <1. Можно подобрать e так, что l + e <1. Обозначим l + e = q,q <1. Тогда из правой части неравенства (1.14) имеем

Ряд (1.16) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Члены ряда (1.15), начиная с uN , меньше членов ряда (1.16).

Ґ

В силу свойства числовых рядов и признака сравнения ряд еun сходится. n=1

Пусть l >1. Начиная с некоторого номера n = N , будем иметь

n un >1

или

un >1,

то есть все члены рассматриваемого ряда, начиная с uN , боль-

Ґ

ше 1. Тогда ряд еun расходится, так как его общий член не стре-

n=1

мится к нулю.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Вычислим предел

21

1. Числовые ряды

Так как 13 <1, то по радикальному признаку Коши данный по условию ряд сходится.

Интегральный признак сходимости Коши

Ґ

Теорема. Пусть члены ряда еun положительны и не возрас-

n=1

тают, то есть

u1 і u2 і u3 і ...,

и пусть f (x) — такая непрерывная невозрастающая функция, что

f (1) = u1, f (2) = u2, f (n) = un. Тогда справедливы следующие утверждения:

Доказательство

Изобразим члены ряда геометрически (рис. 1.1).

y

y = f (x)

Рис. 1.1

22

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1.1:

Ґ

1. Пусть несобственный интеграл т f (x)dx сходится.

1

Тогда существует предел

n

lim т f (x)dx = A.

n®Ґ 1

Так как

23