Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд вида

Ґ

un+1 + un+2 + ... = е uk

k =n+1

называется n м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.

Согласно свойству 3:

1)ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся;

2)если ряд (1.2) сходится, то его остаток rn при n ® Ґ стремится к нулю, то есть

limrn = 0.

n®Ґ

Ряд геометрической прогрессии

Ряд вида

называется рядом геометрической прогрессии.

Исследуем данный ряд на сходимость.

Сумма первых n первых членов прогрессии находится по формуле

Найдем предел этой суммы:

9

1. Числовые ряды

расходится.

3. Если q =1, получаем ряд a + a + a + ..., который расходится,

так как Sn = nЧa, limSn = Ґ.

n®Ґ

Если q = -1, получаем ряд a - a + a - a + ..., который расходит-

ся, так как limSn не существует.

n®Ґ

Ряд (1.6) при q =1 расходится.

Таким образом, ряд (1.6) сходится при q <1 и расходится при

Решение

Данный ряд представляет собой ряд геометрической про-

Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член un стремится к нулю при n ® Ґ, то есть

limun = 0.

n®Ґ

10

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Доказательство

limSn-1 = S при n ® Ґ и(n -1) ® Ґ. Учитывая, чтоun = Sn - Sn-1 при

n®Ґ

Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если limun № 0 или не существует, то ряд расходится.

n®Ґ

Доказательство

Если бы ряд сходился, то по теореме limun = 0, но это проти-

n®Ґ

воречит условию, поэтому ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ 2n - 3 еn=1 5n +1.

Решение

Данный ряд расходится, так как выполняется достаточное условие расходимости ряда:

Гармонический ряд

Ряд вида

называется гармоническим рядом. У данного ряда каждый член является средним гармоническим для двух соседних членов.

11

1. Числовые ряды

Гармоническое среднее чисел x1,x2,..xn — число h, обратное

которому есть среднее арифметическое чисел, обратных данным числам:

расходится.

Доказательство

Рассмотрим два ряда

1+ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 101 + 111 + 121 + 131 + 141 + 151 + 161 + 171 + ... (а)

1+ 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + ... (б)

Пусть Sn(1) — сумма n первых членов гармонического ряда (а), Sn(2) — сумма n первых членов ряда (б).

Так как каждый член ряда (а) больше соответствующего члена ряда (б) или равен ему, то для n > 2 получаем

Подсчитаем частичные суммы ряда (б) для значений n, равных 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27:

S2 =1+ 12 = 32,

12

Из соотношения (1.7) следует, что и limS(а) = Ґ, то есть гар-

n®Ґ n

монический ряд расходится.

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признаки сравнения

Теорема 1

Пусть даны два знакоположительных ряда:

n=1

13