Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

2.1. Определение функционального ряда. Область сходимости функционального ряда

Представим S(x) в виде

S(x) = Sn (x)+ Rn (x),

где Sn (x) = u1(x)+ ...+ un (x), Rn (x) = un+1(x)+ ....

Rn (x) называется остатком функционального ряда.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решим неравенство x + 2 >1. Получим x О(-Ґ;-3)И(-1;+Ґ). Исследуем точки: x = -1, x = -3.

Пусть x = -1. Получим гармонический ряд Ґ 1.

еn=1 n

Данный ряд расходится.

35

2. Функциональные ряды

По признаку Лейбница данный ряд сходится.

Таким образом, область сходимости данного по условию ряда

(-Ґ;-3]И (-1;+Ґ).

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

Ґ (-1)n x2n-1 еn=1 n!(2n -1) .

Решение

Используем признак Даламбера:

Поэтому область сходимости (-Ґ;+Ґ).

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда

Сходящийся функциональный ряд

Ґ

еun (x)

n=1

называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого e > 0 найдется такое N О , что при n і N

Rn (x) < e "x О X .

36

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда

Ґ

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося ряда еun (x)

n=1

в области X, где un (x) (n =1, 2,...) — непрерывные функции, есть непрерывная функция.

Признаки равномерной сходимости рядов

1. Признак Вейерштрасса

Если функции u1(x),u2(x),...,un (x),... по абсолютной вели-

чине не превосходят в некоторой области X положительных чисел a1,a2,..., an,..., причем числовой ряд

a1 + a2 + a3 + ...+ an + ...

сходится, то функциональный ряд

u1(x)+ u2(x)+ ...+ un (x)+ ...

в этой области сходится равномерно.

2. Признак Абеля

Рассмотрим ряд

Ґ

еan (x)bn (x) = a1(x)b1(x)+a2(x)b2(x)+ ...+ an (x)bn (x)+ ... (2.1)

n=1

Ґ

Пусть ряд еbn (x) сходится равномерно в области D, а функ-

n=1

цииan (x) (при каждом х) образуют монотонную последовательность и в совокупности (при любых x, n) ограничены:

an (x) Ј K.

Тогда ряд (2.1) сходится равномерно в области D.

37

2. Функциональные ряды

3. Признак Дирихле

Ґ

Пусть частичные суммы Bn (x) ряда еbn (x) в совокупности

n=1

(при любом x, n) ограничены:

Bn (x) Ј M,

а функции an (x) (при каждом x) образуют монотонную после-

довательность, которая сходится к 0 равномерно в области D. Тогда и ряд (2.1) сходится равномерно в этой области.

Пример. С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

Ґ 1 sinn nx

еn=1 n2

сходится равномерно на промежутке (-Ґ;+Ґ).

Решение

Так как

n12 sinn nx Ј n12

Ґ1

иряд еn=1 n2 сходится, то данный по условию ряд сходится равномерно при любых значениях x.

Мажорируемые ряды

Функциональный ряд

n=1

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

n=1

38