Материал: 978-5-7996-1814-8_2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

6. Решение типового варианта расчетной работы

1 - e- x2

x2n

=1 -

+ ... + (-1)

+ ... =

(n +1)!

x2n

= е(-1)

, x О(-Ґ;+Ґ).

(n +1)!

n=0

Задача 5. Используя соответствующий ряд, вычислить 3 9 с точностью до 0,001.

Решение

Используем биномиальный ряд

(1+ x)m =1+ mx + m(m -1) x2 + m(m -1)(m - 2) x3 + ...+

2! 3!

+ m...(m - (n -1)) xn + ..., | x |<1. n!

Представим 3 9 следующим образом

39 = 3 8 +1 = 2жз1+ 18 чц3.

иш

Полагая m =

, x =

, получим

ж 1

1 ж 1

цж 1

- 2

-1ч

1 ц

-1чз

1 ц

= 2

з1

и 3

3 и 3

ши 3

- ...ч

1Ч

1Ч2Ч3

8 ш

= 2 +

+ ... .

288

20736

Найдем первый член по модулю, меньший 0,001.

20736

» 0,0002 < 0,001

Так как ряд знакочередующийся, то

| R |<| u |< 0,001

6. Решение типового варианта расчетной работы

Вычисляя слагаемые (второе и третье) с 4 десятичными знаками, получим

3 9 » 2 + 0,0833 - 0,0035 = 2,0798 » 2,080.

Задача 6. Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить

0т,5 arctg x dx.

0 x

Оценить погрешность полученного результата.

Решение

Разложим подынтегральную функцию в ряд, воспользовавшись разложением arctg x:

						x3				x5				x7									n-1					x2n-1								.
	arctg x = x -					3		+		5	-		7		+ ...(-1)												2n -1					+		..., -1Ј x Ј1
						3				5			7														2n -1
							arctg x =1-										x2			+		x4			-			x6		+ ...
							arctg x =1-													+					-					+ ...
									x									3			5					7						.
									x									3			5					7
	Вычислим интеграл
			0,5 arctg x							0,5		ж				x2					x4					x6					x	8		ц
			т				dx			= т		з1-							+					-					+				- ...чdx		=
			т		x		dx			= т		з1-			3				+		5			-		7			+		9		- ...чdx		=
			0		x						0	и			3						5					7					9			ш
ж	x3		x5		x7			x9				ц		0,5				1			1					1							1			1
ж	x3		x5		x7			x9				ц		0,5				1			1					1							1			1
= з x -		+		-		+				- ...ч					=				-					+								-			+			- ... .
= з x -	9	+	25	-	49	+		81		- ...ч					=			2	-		72			+		32Ч25						-	128Ч49		+	512Ч	81	- ... .
и	9		25		49			81				ш		0				2			72					32Ч25							128Ч49			512Ч	81
и												ш		0

Если сохранить 4 первых члена, то погрешность от отбрасывания остальных членов ряда будет меньше модуля пятого члена, так как ряд знакочередующийся.

\| R \|<\| u \|=		1	» 0,00002	< 0,0001

4	5	512Ч81		.

6. Решение типового варианта расчетной работы

Слагаемые будем вычислять с 5 десятичными знаками, тогда общая погрешность будет меньше 0,0001.

0т,5 arctg x dx » 0,50000 - 0,01389 + 0,00125 - 0,00016 = 0,4872.

0 x

Задача 7. Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения

уў = x + x2 + y2, у(0) =1.

Решение

Используем метод последовательного дифференцирования. Пусть искомая функция разложена в ряд Маклорена

	ў		ўў			y	(n)	(0)
y(x) = y(0)+	y (0)	x +	y (0)	x2	+ ...+				xn

1!		2!					n!

Вычислим значения производных yў(0), yўў(0),

yў(x) = x + x2 + y2, yў(0) =1; yўў(x) =1+ 2x + 2yyў, yўў(0) = 3;

yўўў = 2 + 2(yў)2 + 2yyўў, yўўў(0) =10, ... .

+ ....

yўўў(0), ...:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим

y(x) =1+ x + 2!3 x2 + 103! x3 + ....

Задача 8. Разложить в ряд Фурье функцию

м	- p		< x < -		p
п0,	- p		< x < -		2	,
п					2
п		p		p
п		p	< x <	p
f (x) = нx,-		2	< x <	2
п		2		2
п		p	< x Ј p.
п0,		2	< x Ј p.
о		2

6. Решение типового варианта расчетной работы

Решение

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 7.1).

-3p -2p O 2p 3p x

Рис. 7.1

Заданная функция является нечетной. Поэтому коэффициенты an при косинусах равны нулю и разложение в ряд Фурье

будет содержать только синусы. Найдем коэффициенты bn по формуле (5.14)

bn = 2 тp f (x)sinnxdx = p 0

ж p/2

2 й

ж np ц

ж np

x sinnxdx +

0sinnxdx ч

Чcos

sin

p/2

и 2

Учитывая, что

ж np ц

м0, если n - нечетное число,

cosз

2 ш

п(-1)2 , если n - четное число;

ж np ц

n-1

если n - нечетное число,

sinз

н(-1)

2 ш

п0, если n - четное число.

Получаем окончательно: для нечетных n

n-1

bn =

(-1) 2 ,

цчъщ. шы

6. Решение типового варианта расчетной работы

а для четных n

										n
					bn = -			1 (-1)2 .
Поэтому								n
Поэтому	2	ж sin x				sin3x				sin5x			sin7x		ц
f (x) =	2	ж sin x			-	sin3x			+	sin5x		-	sin7x		ц	+
f (x) =	p	з		2	-	2			+	2		-	2		+ ...ч	+
	p	и	1			3				5			7		ш
ж sin2x				-	sin4x		+		sin6x		-	sin8x			ц
+ з		2		-		4	+			6	-		8	+ ...ч.
и		2				4				6			8		ш

В точке разрыва x = p2 сумма ряда равна среднему арифметическому значений односторонних пределов функции

ж p

- 0

ж p

+ 0

f з

+ f з

4 .

Задача 9. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию

м0,3, 0 < x < 0,5, f (x) = н

о-0,3, 0,5 < x <1.

Решение

Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащей только косинусы, продолжим ее на соседний слева промежуток (-1;0] четным образом (рис. 7.2). Тогда коэффи-

циенты bn будут равны нулю.

-1	-0,5	O	0,5	1	x

Рис. 7.2

Источник: https://studfile.net/preview/16668029/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика