Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Для решения нелинейных динамических задач механики деформируемого тела, как правило, реализуют следующие типы решателей:

1. явный;

2. неявные (прямой с учетом разреженности матриц, итерационный – преопределенных сопряженных градиентов);

3. Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH);

4. Element Free Galerkin method (EFG).

При автоматизированных методах расчета динамики модель объекта исследования в целом создается посредством соединения математических моделей элементов. Динамическую модель объекта моделирования чаще всего представляют в виде расчетной или эквивалентной схемы, на которой все входящие в модель элементы изображаются в виде условных изображений и указана связь между степенями свободы (полюсами). При этом следует различать узлы эквивалентной схемы и полюсы модели. Каждая модель имеет столько полюсов, сколько независимых переменных типа потенциала используется в ее математической модели. Для механических подсистем число полюсов соответствует числу степеней свободы модели элемента. Каждый полюс характеризуется как фазовой переменной типа потенциала, так и фазовой переменной типа потока. Узлы эквивалентной схемы являются объединением полюсов элементов и характеризуются только фазовой переменной типа потенциала.

На эквивалентной схеме схематично представляют устройство объекта, указывая действующие силы, связи и свойства, которые предполагается учесть в динамическом расчете. Поэтому под динамической моделью обычно понимают абстрактно представленную расчетную схему, на которой условно обозначены отдельные элементы, связи и действующие силы.

Но прежде, чем приступить к созданию модели машины, необходимо проанализировать задачу, определить исходные данные, необходимые для ее решения и иметь в наличии необходимые ресурсы, отпущенные на выполнение задачи.

Так, попытка включить в модель все мыслимые эффекты при отсутствии достоверных исходных данных может привести к обратному результату – потере достоверности результатов вычислений, что приводит к необходимости рассмотрения возможности ограничения сложности модели за счет деталей и узлов, априорно не оказывающих существенного влияния на рассматриваемый процесс.

На практике в расчетной схеме механизма выделяют наиболее массивные (маховики, ползуны, траверсы и т.п.) и наиболее податливые элементы (валы, рычаги, шатуны и т.п.). К этим элементам приводят соответственно инерционные, упругие и диссипативные свойства остальных частей конструкции.

Для кривошипных машин с различными приводами можно порекомендовать следующие расчетные динамические схемы (табл. 6). При другом подходе к построению динамических моделей, применяемых в расчетах кузнечно-штамповочных машин динамическая модель системы в целом собирают из динамических моделей ее элементов.

В этом случае для эффективного решения задач динамики системы абсолютно жестких тел (Multi Body Dynamics) предусматривают широкий набор шарниров для описания связей между абсолютно жесткими телами:

1. сферический (Spherical joint);

2. поворотный (Revolute joint);

Таблица 6

Окончание таблицы 6

3. цилиндрический (Cylindrical joint);

4. сферический (Spherical joint);

5. поворотный (Revolute joint);

6. цилиндрический (Cylindrical joint);

7. плоский (Planar joint);

8. универсальный (Universal joint);

9. продольный (Translational joint);

10. закрытый (Locking joint);

11. поворотный (Revolute joint);

12. продольный управляемый (Translational Motor joint);

13. поворотный управляемый (Revolute Motor joint);

14. между двумя шестеренками (Gear joint);

15. между рамой и шестеренкой (Rack and Pinion joint);

16. ограничивающий угловую скорость (Constant Velocity joint);

17. винтовой (Screw joint).

Дискретные элементы:

1. пружина и демпфер;

2. сосредоточенная масса.

Эти элементы выполняют в виде подпрограмм и включают в библиотеки моделей. Эквивалентную схему сложных моделей, основанных на этом подходе, следует выполнять из нескольких взаимосвязанных между собой фрагментов. При этом руководствуются следующими основными правилами:

1. в пределах одного фрагмента следует стремиться сосредоточивать модели одной физической природы. Иными словами, рекомендуется составлять отдельно модели привода, исполнительного механизма, системы управления, базовых деталей конструкции;

2. в качестве фрагментов нужно выбирать функционально завершенные узлы и сборочные единицы реальной машины;

3. не следует стремиться к созданию больших фрагментов, что связано с трудностями отладки и тестирования;

4. необходимо произвести тестирование и отладку модели каждого фрагмента в отдельности. В этом случае существует гарантия, что собранная из отлаженных и протестированных фрагментов модель машины в целом будет работать правильно.

17.2. Элементы динамических моделей и их приведение

Реальная механическая система имеет бесконечное число степеней свободы. Поэтому на основе физической схемы составляют ее приведенную схему и выявляют колебательные контуры, упругие колебания в которых мало влияют на динамические нагрузки основных контуров. Для этого моменты инерции и массы ползуна приводят к главному валу, определяют длины и характеристики связей и т.п. Роль инерционных характеристик при поступательном движении выполняют массы, а при вращательном - моменты инерции относительно оси вращения (маховые массы). Приведение инерционных характеристик производят на основе равенства кинетических энергий реальной и приведенной системы.

Приведенная схема служит основой для составления расчетной динамической схемы для исследуемого процесса. При переходе к расчетной схеме уточняют обобщенные координаты и нагрузки, после чего приводят и устанавливают функциональные зависимости для внешней возмущающей нагрузки и передаточной функции.

Сокращения числа сосредоточенных масс осуществляется путем их приведения двумя способами: без изменения обобщенных координат системы или с изменением обобщенных координат.

В рассматриваемых задачах изучается движение одного звена, которое называется звеном приведения. Обычно за звено приведения выбирается начальное звено механизма. Для того, чтобы такая замена была возможна, необходимо, чтобы звено приведения было динамически эквивалентно всему механизму.

Условие динамической эквивалентности состоит в следующем: во-первых, кинетическая энергия звена приведения должна равняться кинетической энергии механизма; во-вторых, работа силы, приложенной к звену приведения, на возможном перемещении должна равняться сумме работ всех сил, приложенных к механизму, на их возможных перемещениях.

Указанное условие вытекает из того, что при составлении уравнения движения механизма в расчет принимается только закон изменения кинетической энергии и внешних сил, а не реальная схема механизма. При такой замене и для механизма и для звена приведения справедливо одно и то же уравнение. В КШМ очень часто движение одного органа (входного звена) преобразуется в движение рабочего инструмента (выходного звена) по определенному закону. Такие механизмы характеризуются функцией положения П, связывающей движение входных и выходных звеньев в том случае, если механизм считать абсолютно жестким.

Для аксиального кривошипно-ползунного механизма перемещение ползуна связано с вращением кривошипа функцией

, (17.5)

где

, (17.6)

здесь , ,

R – радиус кривошипа;

L – длина шатуна.

Через передаточную функцию и ее производные можно вычислить скорость

(17.7)

и ускорение

(17.8)

Для винтового механизма в общем случае перемещение гайки S_r зависит от перемещения винта S_в и вращения гайки и винта _г и _в:

, (17.9)

где

, (17.10)

здесь D_C - средний диаметр винтовой нарезки;

 - угол наклона винтовой линии с учетом знака.

Источниками энергии в КШМ обычно являются электрические двигатели. Динамическая характеристика электродвигателя с независимым возбуждением имеет вид:

, (17.11)

где  - электромагнитная постоянная времени;

- момент, создаваемый двигателем и его производная по времени;

; (17.12)

u - напряжение на якоре;

; (17.13)

L_я - индуктивность якоря;

с_е, c_m - коэффициенты;

 - магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения.

При исследовании статических и квазистатических режимов для асинхронного электродвигателя переменного тока используют формулу Клосса:

(17.14)

где M_K - критический момент; s, s_K - текущее и критическое скольжение двигателя; a - отношение активного сопротивления цепи статора к приведенному сопротивлению цепи ротора.

Несмотря на то, что выбор динамической модели в значительной мере определяется условиями конкретной задачи, можно определить несколько типовых динамических моделей. Наиболее простая динамическая модель основана на допущении о недеформируемости звеньев.

Результаты, полученные на основе этой модели, можно назвать идеальными, а саму модель – кинетостатической, или моделью с жесткими звеньями. Анализ такой модели дает оценочные представления о динамике механизма, которое оказывается близким к реальному в том случае, если нагружение близко к статическому и деформации невелики. При анализе КШМ расчеты на основе моделей с жесткими звеньями применяют для решения проблемы динамического уравновешивания вращающихся деталей быстроходных автоматов, при выборе двигателя и определении момента инерции маховика кривошипных прессов, что обусловлено достаточно хорошим приближением к реальности большинства практических задач. Следующим приближением является модель с упругими звеньями.

В таких моделях инерционные параметры системы сосредоточиваются в некоторых точках, поэтому модель часто называют модель со сосредоточенными параметрами. Этот тип динамической модели в настоящее время получил наиболее широкое распространение при расчетах динамики КШМ, что обусловлено достаточно хорошим приближением к реальности. В ряде случаев, когда необходимо учитывать скорость передачи возмущений, применяют динамические модели с распределенными параметрами. В таких моделях и упругие, и инерционные характеристики считаются распределенными по объему.

Наиболее часто такие модели применяют при анализе динамических явлений в штоках молотов и гидроудара. Каждой динамической модели соответствует своя математическая модель, т.е. система алгебраических, дифференциальных и интегродифференциальных уравнений, с помощью которых осуществляется математическое описание исследуемого объекта. Для того чтобы выполнить силовое исследование, необходимо знать закон движения начального звена. Он устанавливается при решении задачи об истинном движении механизма.

В этой задаче активные силы считаются известными, составляется уравнение, связывающее силы и ускорения, а затем путем их интегрирования находится скорость и перемещение как функции времени. Основные трудности здесь чисто математического характера. Они вызваны сложностью интегрирования нелинейного дифференциального уравнения. С целью упрощения записи дифференциального уравнения рассматривается одномассовая динамическая модель механизма. В отличие от моделей с абсолютно жесткими звеньями приведение параметров в моделях с упругими звеньями нельзя осуществить точно, как невозможно точно свести систему с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным числом степеней свободы.

Определение инерционных характеристик обычно облегчается тем, что наиболее значительные массы и моменты инерции (шкивы, маховики, зубчатые колеса, ползуны и т.д.) в реальной конструкции оказываются сосредоточенными. Для валов, штоков и других протяженных элементов пользуются принципом Рэлея, заменяя перемещения в реальной системе перемещениями под действием статической нагрузки. Такая аппроксимация позволяет составить баланс кинетической энергии и с довольно высокой степенью точности выполнить приведение инерционных элементов. В случае сложного движения тела на плоскости или в пространстве его инерционные характеристики заменяют некоторыми массами, сосредоточенными в шарнирах.

Зависимость жесткости от деформации выражает упругие характеристики, которые определяются тремя видами функциональной зависимости: постоянная жесткость, характерная для растяжения-сжатия и кручения металлов в диапазоне до предела пропорциональности; “жесткая” характеристика, при которой жесткость возрастает с ростом деформации, характерная для изделий из резины и контактных металлов; “мягкая” характеристика с падением жесткости при росте деформации, характерная для большинства полимеров.

Существование в реальных механизмах трения в кинематических парах, а также несовершенно строения материалов (внутреннее трение) приводит к рассеянию (диссипации) энергии. Диссипативные силы, вызываемые трением на поверхности неразъемных соединений, называют конструкционным демпфированием. Диссипативные силы зависят от многих факторов, учет которых практически невозможен.

Поэтому при введении диссипативных сил в динамическую модель их обычно сводят либо к силам “сухого” трения, зависящим от направления движения, либо к силам вязкого сопротивления, пропорциональным скорости деформации.

17.3. Методика создания математических моделей элементов

Как мы уже говорили, при автоматизированных методах расчета динамики модель объекта исследования в целом создается посредством соединения математических моделей элементов. В общем случае, данные на анализ включают: общее время моделирования процесса, выделение части времени моделируемого процесса (при наличии таковых), максимальный и минимальный шаг интегрирования, точность интегрирования. Для наглядности, сокращения сроков и уменьшения вероятности возникновения ошибок при подготовке исходных данных объект моделировании представляют в соответствии с его физической природой в виде кинематической, пневматической, гидравлической схем или их совокупности.

В последствии объект расчленяют на элементы, учитывая при этом наличие соответствующих моделей в библиотеке моделей элементов. При расчленении объектов выявляют число и характер связей между элементами. Число и характер связей для механических объектов определяется числом и видом независимых координат, по которым взаимодействуют элементы в месте расчленения.

Далее структуру объекта представляют в виде так называемой топологии, т.е. схемы, содержащей условные обозначения элементов и их связей. Связи между элементами представляют в виде узлов, образованных соединением полюсов моделей. Узлы нумеруют последовательными числами натурального ряда в произвольном порядке.

Систему отсчета представляет “узел заземления”, который, как правило, имеет самый большой номер. К каждому узлу топологии объекта механической природы или механической части объекта смешанной природы должна обязательно присоединяться модель массы c.

При моделировании объекта в инерциальной системе отсчета, как это имеет место в механических прессах, один из полюсов каждой модели должен быть “заземлен”. Каждый элемент объекта механической природы рассматривается в локальной системе координат. Любая пара осей системы координат трехмерных элементов также должна быть правосторонней системой координат, если смотреть со стороны положительного направления третьей оси. Началом отсчета углов в такой системе принимается горизонтальная ось; положительным направлением отсчета углов, а также угловых скоростей, крутящих и изгибающих моментов – направление против часовой стрелки.