Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Решение уравнения колебания связи позволяет определить динамическую ошибку и значения нагрузок в связи при определенных режимах нагружения. Существуют следующие основные варианты решения для следующих частных случаев:

1. уравнение колебаний при ступенчатом нагружении. Под ступенчатым нагружением понимают внешнюю нагрузку типа Q=0 при и при t > 0. К такой нагрузке в первом приближении можно привести нагружение привода при глубоком выдавливании, включении муфты, кроме того, анализ поведения системы при ступенчатом нагружении дает возможность найти верхнюю оценку коэффициента динамичности при отсутствии резонанса. Подставляя в закон изменения внешней нагрузки Q в подынтегральное выражение уравнение (13.2) при нулевых начальных условиях, получим

. (18.4)

Отношение представляет собой статическую деформацию связи, а выражение в квадратных скобках при малых значениях h имеет максимум, близкий двум. Поэтому максимальная динамическая ошибка привода при отсутствии резонанса не может превышать двукратной деформации под действием статической нагрузки той же амплитуды;

2. уравнение колебаний при гармоническом нагружении. Гармоническим возбуждением считается нагрузка вида , где p – частота колебаний вынуждающей силы. К гармоническому закону можно прийти, рассматривая работу кривошипных прессов и автоматов на холостых ходах. Тогда инерционная нагрузка привода от перемещения рабочих частей будет близка к гармонической. Общее уравнение (18.2) при гармонической вынуждающей силе будет иметь вид:

(18.5);

3. уравнения колебаний при периодической возмущающей силы. Основные соотношения, полученные для случая действия гармонической возмущающей силы, оказываются полезными при анализе периодического нагружения.

К периодическому нагружению может быть в первом приближении сведена задача о технологическом нагружении КШМ, работающей на автоматических ходах. Поскольку в этом случае нагружение машины повторяется через равные промежутки времени (период), то функция нагружения может быть разложена в ряд Фурье:

, (18.6)

где - основная частота возмущающей силы; T – период повторения нагружения. Коэффициенты Q₀, Q_1i, Q_2i для наиболее употребимых случаев могут быть найдены из таблиц или по известным из литературы формулам.

18..3. Уравнение движения механического пресса

Для математического описания движения динамической модели используют различные методы. Среди них можно упомянуть уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, уравнение Аппеля, уравнение кинетической энергии и обобщенное уравнение динамики, принцип Даламбера.

Наибольшее распространение получила методика, основанная на применении уравнений Лагранжа второго рода с неопределенными множителями. Эти уравнения, которые иногда также называются уравнениями Раусса-Феррерса, пригодны для составления уравнений движения механизмов с голономными, неголономными и избыточными связями и могут быть записаны в следующем виде:

(18.7)

где i = 1…H - число обобщенных координат; j = 1…h - число неголономных и избыточных связей; T, U - кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно;  - диссипативная функция Рэлея для сил трения, пропорциональных обобщенных скоростям; q_i, - обобщенные координаты и обобщенные скорости соответственно; Q_i - неконсервативные обобщенные силы; l_j - неопределенные множители Лагранжа. Величины A_ji являются коэффициентами при обобщенных скоростях в уравнениях связи.

Для голономных избыточных связей, выражающих уравнением , эти коэффициенты принимают вид . Уравнения Лагранжа дополняются уравнениями связей, и в этом виде система уравнений является замкнутой. В общем случае используют следующий способ введения независимых обобщенных и избыточных координат. В качестве одной из обобщенных координат выделяют абсолютную координату входного звена, определяющую движение механизма при абсолютно жестких звеньях.

Для остальных независимых координат используют так называемые динамические ошибки, которыми являются деформации упругих звеньев, вызывающие искажения относительного движения соответствующих звеньев по сравнению с идеальным механизмом. В качестве избыточных обобщенных координат используют выходные перемещения избыточных связей.

При таком выборе обобщенных координат обеспечивается наиболее простая форма записи выражений для потенциальной и кинетической энергии, кроме того, уменьшаются ошибки вычислений при дальнейшем численном решении полученных уравнений. Далее попытаемся конкретизировать методику составления динамических и математических моделей на примере кривошипного горячештамповочного пресса (рис. 22).

Будем считать, что двигатель работает в квазистатическом режиме, и его момент М_Э может быть описан формулой Клосса. Ротор двигателя вместе со шкивом клиноременной передачи имеет момент инерции J_p. Клиноременная передача характеризуется передаточным числом i_КЛ, упругим скольжением s_КЛ и КПД _КЛ. На промежуточном валу с крутильной жесткостью C_n и моментом инерции J_П расположены маховик и шестерни зубчатой передачи с моментом инерции J_M и J_c.

Зубчатая передача имеет передаточное отношение i_З, приведенную крутильную жесткость с_З и КПД _З. На эксцентриковом валу с моментом инерции J_Э и крутильной жесткостью С_З расположено зубчатое колесо с моментом инерции J_K. Шатун обладает массой m_Ш, моментом инерции J_Ш и жесткостью С_Ш на растяжение-сжатие.

Рис. 22. Расчетная схема кривошипного

горячештамповочного пресса

Коэффициент трения в шарнирах - m. Массы ползуна, траверсы и стоек соответственно - m_n, m_TP, m_CT. Жесткость траверсы и стоек в направлении действия усилия деформирования - С_ТР, С_СТ. Для этапа рабочего хода можно составить упрощенную динамическую модель (рис. 23). В такой модели обычно принимают, что муфта включена и в ней отсутствует проскальзывание. Конструкционное демпфирование и внутреннее трение в деталях считаем пренебрежимо малым. Все вращательные движения приведены к эксцентриковому валу.

Рис. 23. Упрощенная динамическая модель

кривошипного горячештамповочного пресса

Динамическая модель имеет следующие параметры:

; ; ,

; ; ; (18.8)

;

В нашем случае движение механизма определяется вращением входного вала, поэтому в качестве независимой координаты q₁ примем угол поворота инерционного элемента J₁. В качестве остальных обобщенных координат принимаем деформации соответствующих упругих элементов. Избыточная координата описывает идеальное движение ползуна x_ПН без учета упругости звеньев:

; ; ; (18.9)

; (18.10)

Тогда

(18.11)

;  = 0 (18.12)

Обобщенные силы определяются как размерные коэффициенты, в выражении работы при возможных перемещениях W для соответствующей вариации; при этом с избыточными координатами следует обращаться так же, как с независимыми:

(18.13)

Отсюда

, ; ; (18.14)

Поскольку функция положения , уравнение связи

(18.15)

Тогда

, , (18.16)

Подставляя приведенные выражения в уравнение Лагранжа, получим следующую систему уравнений:

(18.17)

Система состоит из семи уравнений и имеет семь неизвестных - шесть обобщенных координат q_i и неопределенный множитель Лагранжа. Используя седьмое уравнение, можно выразить избыточную координату q₆ через значения независимых координат. Анализируя пятое и шестое, можно найти выражение для неопределенного множителя Лагранжа =-c₅q₆.

Таким образом, система может быть преобразована к виду, включающему только независимые обобщенные координаты, и будет содержать пять дифференциальных уравнений второго порядка, что соответствует пяти степеням свободы системы. Неопределенный множитель Лагранжа представляет собой реакцию избыточной связи.

Этот вывод имеет общий характер и положен в основу еще одного метода составления уравнений движения механизмов - метода освобождения от связей. Особенно удобно использовать этот метод при учете сил трения и зазоров в кинематических парах.

Продолжая рассмотрение нашего примера, будем считать, что в кривошипно-ползунном механизме существует зазор, причем его значение, приведенное к перемещению ползуна, равно . В зависимости от текущего значения обобщенной координаты q₅, равного разности идеального и реального перемещений ползуна, получим следующие значения для усилия и связи:

если , то

если , то

если , то

Подставляя в уравнения движения вместо неопределенного множителя Лагранжа выражения для реакции в связи, получим систему уравнений движения кривошипного пресса с учетом выбранных зазоров в кривошипно-ползунном механизме.

Вопросы для самоподготовки:

1. В связи с чем возникают ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин?

2. Из каких соображений получается упрощенная модель передаточного механизма кузнечно-штамповочной машины?

3. Приведите уравнение движения механического пресса?